Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74122 / 61196
↖ ↑ ↗
← N 11.835095°
E 23.582153°		 ← 298.93 m → N 11.835095°
E 23.584900°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
N 11.832406°
E 23.582153°		 ← 298.94 m →
89 360 m²		 N 11.832406°
E 23.584900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565509796142578 y=0.466892242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565509796142578 × 217)
    floor (0.565509796142578 × 131072)
    floor (74122.5)     		tx = 74122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466892242431641 × 217)
    floor (0.466892242431641 × 131072)
    floor (61196.5)     		ty = 61196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74122 / 61196 ti = "17/74122/61196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74122/61196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74122 ÷ 217
    74122 ÷ 131072     		x = 0.565505981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61196 ÷ 217
    61196 ÷ 131072     		y = 0.466888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565505981445312 × 2 - 1) × π
    0.131011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41158622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466888427734375 × 2 - 1) × π
    0.06622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.208046144351044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41158622} λ = 0.41158622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208046144351044))-π/2
    2×atan(1.23126998439241)-π/2
    2×0.888678846334863-π/2
    1.77735769266973-1.57079632675     		φ = 0.20656137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41158622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.582153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20656137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.835095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74122 KachelY 61196 0.41158622 0.20656137 23.582153 11.835095
    Oben rechts KachelX + 1 74123 KachelY 61196 0.41163416 0.20656137 23.584900 11.835095
    Unten links KachelX 74122 KachelY + 1 61197 0.41158622 0.20651445 23.582153 11.832406
    Unten rechts KachelX + 1 74123 KachelY + 1 61197 0.41163416 0.20651445 23.584900 11.832406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20656137-0.20651445) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20656137-0.20651445) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41158622-0.41163416) × cos(0.20656137) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978741947577657 × 6371000     		do = 298.932983608097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41158622-0.41163416) × cos(0.20651445) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.97875156958528 × 6371000     		du = 298.935922416896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20656137)-sin(0.20651445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978741947577657-0.97875156958528)×R²
    abs(0.41163416-0.41158622)×9.62200762300025e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.62200762300025e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.62200762300025e-06×40589641000000     		ar = 89359.6749111372m²