Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74121 / 78249
↖ ↑ ↗
← S 32.937234°
E 23.579407°		 ← 256.33 m → S 32.937234°
E 23.582153°		 →
↑
256.31 m
↓
↑
256.31 m
↓
S 32.939539°
E 23.579407°		 ← 256.33 m →
65 699 m²		 S 32.939539°
E 23.582153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565502166748047 y=0.596996307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565502166748047 × 217)
    floor (0.565502166748047 × 131072)
    floor (74121.5)     		tx = 74121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596996307373047 × 217)
    floor (0.596996307373047 × 131072)
    floor (78249.5)     		ty = 78249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74121 / 78249 ti = "17/74121/78249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74121/78249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74121 ÷ 217
    74121 ÷ 131072     		x = 0.565498352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78249 ÷ 217
    78249 ÷ 131072     		y = 0.596992492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565498352050781 × 2 - 1) × π
    0.130996704101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41153828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596992492675781 × 2 - 1) × π
    -0.193984985351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.609421804869774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41153828} λ = 0.41153828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609421804869774))-π/2
    2×atan(0.543665122742218)-π/2
    2×0.497966575128257-π/2
    0.995933150256514-1.57079632675     		φ = -0.57486318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41153828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.579407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57486318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.937234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74121 KachelY 78249 0.41153828 -0.57486318 23.579407 -32.937234
    Oben rechts KachelX + 1 74122 KachelY 78249 0.41158622 -0.57486318 23.582153 -32.937234
    Unten links KachelX 74121 KachelY + 1 78250 0.41153828 -0.57490341 23.579407 -32.939539
    Unten rechts KachelX + 1 74122 KachelY + 1 78250 0.41158622 -0.57490341 23.582153 -32.939539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57486318--0.57490341) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dl = 256.305329999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57486318--0.57490341) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dr = 256.305329999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41153828-0.41158622) × cos(-0.57486318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.839266702041764 × 6371000     		do = 256.333653528594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41153828-0.41158622) × cos(-0.57490341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.839244827508329 × 6371000     		du = 256.326972483032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57486318)-sin(-0.57490341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839266702041764-0.839244827508329)×R²
    abs(0.41158622-0.41153828)×2.18745334354953e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18745334354953e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18745334354953e-05×40589641000000     		ar = 65698.8254727013m²