Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74120 / 78248
↖ ↑ ↗
← S 32.934928°
E 23.576660°		 ← 256.29 m → S 32.934928°
E 23.579407°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
S 32.937234°
E 23.576660°		 ← 256.28 m →
65 703 m²		 S 32.937234°
E 23.579407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565494537353516 y=0.596988677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565494537353516 × 217)
    floor (0.565494537353516 × 131072)
    floor (74120.5)     		tx = 74120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596988677978516 × 217)
    floor (0.596988677978516 × 131072)
    floor (78248.5)     		ty = 78248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74120 / 78248 ti = "17/74120/78248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74120/78248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74120 ÷ 217
    74120 ÷ 131072     		x = 0.56549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78248 ÷ 217
    78248 ÷ 131072     		y = 0.59698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56549072265625 × 2 - 1) × π
    0.1309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41149035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.1939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.609373867970154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41149035} λ = 0.41149035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609373867970154))-π/2
    2×atan(0.543691184987301)-π/2
    2×0.497986691312277-π/2
    0.995973382624554-1.57079632675     		φ = -0.57482294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41149035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.576660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57482294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.934928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74120 KachelY 78248 0.41149035 -0.57482294 23.576660 -32.934928
    Oben rechts KachelX + 1 74121 KachelY 78248 0.41153828 -0.57482294 23.579407 -32.934928
    Unten links KachelX 74120 KachelY + 1 78249 0.41149035 -0.57486318 23.576660 -32.937234
    Unten rechts KachelX + 1 74121 KachelY + 1 78249 0.41153828 -0.57486318 23.579407 -32.937234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57482294--0.57486318) × R
    4.02400000000247e-05 × 6371000     		dl = 256.369040000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57482294--0.57486318) × R
    4.02400000000247e-05 × 6371000     		dr = 256.369040000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41149035-0.41153828) × cos(-0.57482294) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.839288580653748 × 6371000     		do = 256.286864744107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41149035-0.41153828) × cos(-0.57486318) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.839266702041764 × 6371000     		du = 256.280183846738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57482294)-sin(-0.57486318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839288580653748-0.839266702041764)×R²
    abs(0.41153828-0.41149035)×2.18786119838832e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.18786119838832e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.18786119838832e-05×40589641000000     		ar = 65703.1611003564m²