Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74120 / 78211
↖ ↑ ↗
← S 32.849596°
E 23.576660°		 ← 256.53 m → S 32.849596°
E 23.579407°		 →
↑
256.56 m
↓
↑
256.56 m
↓
S 32.851903°
E 23.576660°		 ← 256.53 m →
65 816 m²		 S 32.851903°
E 23.579407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565494537353516 y=0.596706390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565494537353516 × 217)
    floor (0.565494537353516 × 131072)
    floor (74120.5)     		tx = 74120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596706390380859 × 217)
    floor (0.596706390380859 × 131072)
    floor (78211.5)     		ty = 78211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74120 / 78211 ti = "17/74120/78211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74120/78211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74120 ÷ 217
    74120 ÷ 131072     		x = 0.56549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78211 ÷ 217
    78211 ÷ 131072     		y = 0.596702575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56549072265625 × 2 - 1) × π
    0.1309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41149035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596702575683594 × 2 - 1) × π
    -0.193405151367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.607600202684212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41149035} λ = 0.41149035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607600202684212))-π/2
    2×atan(0.544656366870156)-π/2
    2×0.498731358535419-π/2
    0.997462717070838-1.57079632675     		φ = -0.57333361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41149035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.576660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57333361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.849596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74120 KachelY 78211 0.41149035 -0.57333361 23.576660 -32.849596
    Oben rechts KachelX + 1 74121 KachelY 78211 0.41153828 -0.57333361 23.579407 -32.849596
    Unten links KachelX 74120 KachelY + 1 78212 0.41149035 -0.57337388 23.576660 -32.851903
    Unten rechts KachelX + 1 74121 KachelY + 1 78212 0.41153828 -0.57337388 23.579407 -32.851903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57333361--0.57337388) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dl = 256.560169999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57333361--0.57337388) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dr = 256.560169999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41149035-0.41153828) × cos(-0.57333361) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.840097377700419 × 6371000     		do = 256.533840652136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41149035-0.41153828) × cos(-0.57337388) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.840075533137043 × 6371000     		du = 256.52717015192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57333361)-sin(-0.57337388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840097377700419-0.840075533137043)×R²
    abs(0.41153828-0.41149035)×2.1844563375284e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1844563375284e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1844563375284e-05×40589641000000     		ar = 65815.510084917m²