Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7412 / 7453
↖ ↑ ↗
← S 81.288376°
E145.722656°		 ← 740.11 m → S 81.288376°
E145.766602°		 →
↑
739.80 m
↓
↑
739.80 m
↓
S 81.295029°
E145.722656°		 ← 739.55 m →
547 330 m²		 S 81.295029°
E145.766602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90484619140625 y=0.90985107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90484619140625 × 213)
    floor (0.90484619140625 × 8192)
    floor (7412.5)     		tx = 7412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90985107421875 × 213)
    floor (0.90985107421875 × 8192)
    floor (7453.5)     		ty = 7453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7412 / 7453 ti = "13/7412/7453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7412/7453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7412 ÷ 213
    7412 ÷ 8192     		x = 0.90478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7453 ÷ 213
    7453 ÷ 8192     		y = 0.9097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90478515625 × 2 - 1) × π
    0.8095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54334015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.819580078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57478675239246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54334015} λ = 2.54334015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57478675239246))-π/2
    2×atan(0.0761700641507807)-π/2
    2×0.076023265015831-π/2
    0.152046530031662-1.57079632675     		φ = -1.41874980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54334015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41874980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.288376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7412 KachelY 7453 2.54334015 -1.41874980 145.722656 -81.288376
    Oben rechts KachelX + 1 7413 KachelY 7453 2.54410714 -1.41874980 145.766602 -81.288376
    Unten links KachelX 7412 KachelY + 1 7454 2.54334015 -1.41886592 145.722656 -81.295029
    Unten rechts KachelX + 1 7413 KachelY + 1 7454 2.54410714 -1.41886592 145.766602 -81.295029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41874980--1.41886592) × R
    0.000116119999999942 × 6371000     		dl = 739.800519999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41874980--1.41886592) × R
    0.000116119999999942 × 6371000     		dr = 739.800519999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54334015-2.54410714) × cos(-1.41874980) × R
    0.000766989999999801 × 0.151461364622429 × 6371000     		do = 740.114941921552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54334015-2.54410714) × cos(-1.41886592) × R
    0.000766989999999801 × 0.151346583257271 × 6371000     		du = 739.554063550891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41874980)-sin(-1.41886592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151461364622429-0.151346583257271)×R²
    abs(2.54410714-2.54334015)×0.000114781365157773×R²
    0.000766989999999801×0.000114781365157773×6371000²
    0.000766989999999801×0.000114781365157773×40589641000000     		ar = 547329.95045444m²