Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7412 / 4876
↖ ↑ ↗
← N 58.676938°
W 17.138672°		 ← 1 270.14 m → N 58.676938°
W 17.116699°		 →
↑
1 270.38 m
↓
↑
1 270.38 m
↓
N 58.665513°
W 17.138672°		 ← 1 270.55 m →
1 613 818 m²		 N 58.665513°
W 17.116699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452423095703125 y=0.297637939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452423095703125 × 214)
    floor (0.452423095703125 × 16384)
    floor (7412.5)     		tx = 7412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297637939453125 × 214)
    floor (0.297637939453125 × 16384)
    floor (4876.5)     		ty = 4876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7412 / 4876 ti = "14/7412/4876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7412/4876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7412 ÷ 214
    7412 ÷ 16384     		x = 0.452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4876 ÷ 214
    4876 ÷ 16384     		y = 0.297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29912625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297607421875 × 2 - 1) × π
    0.40478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27167007312085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29912625} λ = -0.29912625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27167007312085))-π/2
    2×atan(3.56680441513851)-π/2
    2×1.29745104207507-π/2
    2.59490208415014-1.57079632675     		φ = 1.02410576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29912625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02410576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.676938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7412 KachelY 4876 -0.29912625 1.02410576 -17.138672 58.676938
    Oben rechts KachelX + 1 7413 KachelY 4876 -0.29874276 1.02410576 -17.116699 58.676938
    Unten links KachelX 7412 KachelY + 1 4877 -0.29912625 1.02390636 -17.138672 58.665513
    Unten rechts KachelX + 1 7413 KachelY + 1 4877 -0.29874276 1.02390636 -17.116699 58.665513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02410576-1.02390636) × R
    0.000199400000000072 × 6371000     		dl = 1270.37740000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02410576-1.02390636) × R
    0.000199400000000072 × 6371000     		dr = 1270.37740000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29912625--0.29874276) × cos(1.02410576) × R
    0.000383489999999986 × 0.51986299879566 × 6371000     		do = 1270.13696743126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29912625--0.29874276) × cos(1.02390636) × R
    0.000383489999999986 × 0.520033325839533 × 6371000     		du = 1270.55311298399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02410576)-sin(1.02390636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51986299879566-0.520033325839533)×R²
    abs(-0.29874276--0.29912625)×0.000170327043872986×R²
    0.000383489999999986×0.000170327043872986×6371000²
    0.000383489999999986×0.000170327043872986×40589641000000     		ar = 1613817.63462852m²