Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7412 / 10579
↖ ↑ ↗
← S 46.362093°
W 17.138672°		 ← 1 686.06 m → S 46.362093°
W 17.116699°		 →
↑
1 685.83 m
↓
↑
1 685.83 m
↓
S 46.377254°
W 17.138672°		 ← 1 685.59 m →
2 842 015 m²		 S 46.377254°
W 17.116699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452423095703125 y=0.645721435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452423095703125 × 214)
    floor (0.452423095703125 × 16384)
    floor (7412.5)     		tx = 7412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645721435546875 × 214)
    floor (0.645721435546875 × 16384)
    floor (10579.5)     		ty = 10579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7412 / 10579 ti = "14/7412/10579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7412/10579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7412 ÷ 214
    7412 ÷ 16384     		x = 0.452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10579 ÷ 214
    10579 ÷ 16384     		y = 0.64569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29912625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.2913818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.915403035144592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29912625} λ = -0.29912625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915403035144592))-π/2
    2×atan(0.400355236339566)-π/2
    2×0.380812577818414-π/2
    0.761625155636828-1.57079632675     		φ = -0.80917117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29912625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80917117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.362093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7412 KachelY 10579 -0.29912625 -0.80917117 -17.138672 -46.362093
    Oben rechts KachelX + 1 7413 KachelY 10579 -0.29874276 -0.80917117 -17.116699 -46.362093
    Unten links KachelX 7412 KachelY + 1 10580 -0.29912625 -0.80943578 -17.138672 -46.377254
    Unten rechts KachelX + 1 7413 KachelY + 1 10580 -0.29874276 -0.80943578 -17.116699 -46.377254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80917117--0.80943578) × R
    0.000264609999999998 × 6371000     		dl = 1685.83030999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80917117--0.80943578) × R
    0.000264609999999998 × 6371000     		dr = 1685.83030999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29912625--0.29874276) × cos(-0.80917117) × R
    0.000383489999999986 × 0.690098506993127 × 6371000     		do = 1686.05887884247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29912625--0.29874276) × cos(-0.80943578) × R
    0.000383489999999986 × 0.689906980490674 × 6371000     		du = 1685.590938459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80917117)-sin(-0.80943578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690098506993127-0.689906980490674)×R²
    abs(-0.29874276--0.29912625)×0.000191526502452688×R²
    0.000383489999999986×0.000191526502452688×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191526502452688×40589641000000     		ar = 2842014.74494024m²