Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74119 / 78207
↖ ↑ ↗
← S 32.840366°
E 23.573914°		 ← 256.61 m → S 32.840366°
E 23.576660°		 →
↑
256.62 m
↓
↑
256.62 m
↓
S 32.842674°
E 23.573914°		 ← 256.61 m →
65 852 m²		 S 32.842674°
E 23.576660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565486907958984 y=0.596675872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565486907958984 × 217)
    floor (0.565486907958984 × 131072)
    floor (74119.5)     		tx = 74119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596675872802734 × 217)
    floor (0.596675872802734 × 131072)
    floor (78207.5)     		ty = 78207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74119 / 78207 ti = "17/74119/78207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74119/78207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74119 ÷ 217
    74119 ÷ 131072     		x = 0.565483093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78207 ÷ 217
    78207 ÷ 131072     		y = 0.596672058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565483093261719 × 2 - 1) × π
    0.130966186523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41144241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596672058105469 × 2 - 1) × π
    -0.193344116210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.607408455085731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41144241} λ = 0.41144241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607408455085731))-π/2
    2×atan(0.544760813433869)-π/2
    2×0.498811906051247-π/2
    0.997623812102494-1.57079632675     		φ = -0.57317251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41144241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.573914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57317251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.840366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74119 KachelY 78207 0.41144241 -0.57317251 23.573914 -32.840366
    Oben rechts KachelX + 1 74120 KachelY 78207 0.41149035 -0.57317251 23.576660 -32.840366
    Unten links KachelX 74119 KachelY + 1 78208 0.41144241 -0.57321279 23.573914 -32.842674
    Unten rechts KachelX + 1 74120 KachelY + 1 78208 0.41149035 -0.57321279 23.576660 -32.842674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57317251--0.57321279) × R
    4.02800000000036e-05 × 6371000     		dl = 256.623880000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57317251--0.57321279) × R
    4.02800000000036e-05 × 6371000     		dr = 256.623880000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41144241-0.41149035) × cos(-0.57317251) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.84018475317594 × 6371000     		do = 256.614049975608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41144241-0.41149035) × cos(-0.57321279) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.840162908639566 × 6371000     		du = 256.607378091921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57317251)-sin(-0.57321279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84018475317594-0.840162908639566)×R²
    abs(0.41149035-0.41144241)×2.184453637466e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.184453637466e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.184453637466e-05×40589641000000     		ar = 65852.4370937255m²