Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74118 / 61086
↖ ↑ ↗
← N 12.130635°
E 23.571167°		 ← 298.61 m → N 12.130635°
E 23.573914°		 →
↑
298.61 m
↓
↑
298.61 m
↓
N 12.127949°
E 23.571167°		 ← 298.61 m →
89 167 m²		 N 12.127949°
E 23.573914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565479278564453 y=0.466053009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565479278564453 × 217)
    floor (0.565479278564453 × 131072)
    floor (74118.5)     		tx = 74118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466053009033203 × 217)
    floor (0.466053009033203 × 131072)
    floor (61086.5)     		ty = 61086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74118 / 61086 ti = "17/74118/61086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74118/61086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74118 ÷ 217
    74118 ÷ 131072     		x = 0.565475463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61086 ÷ 217
    61086 ÷ 131072     		y = 0.466049194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565475463867188 × 2 - 1) × π
    0.130950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41139447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466049194335938 × 2 - 1) × π
    0.067901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.21331920330925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41139447} λ = 0.41139447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.21331920330925))-π/2
    2×atan(1.23777969156483)-π/2
    2×0.891257922026067-π/2
    1.78251584405213-1.57079632675     		φ = 0.21171952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41139447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.571167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21171952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.130635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74118 KachelY 61086 0.41139447 0.21171952 23.571167 12.130635
    Oben rechts KachelX + 1 74119 KachelY 61086 0.41144241 0.21171952 23.573914 12.130635
    Unten links KachelX 74118 KachelY + 1 61087 0.41139447 0.21167265 23.571167 12.127949
    Unten rechts KachelX + 1 74119 KachelY + 1 61087 0.41144241 0.21167265 23.573914 12.127949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21171952-0.21167265) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dl = 298.608770000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21171952-0.21167265) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dr = 298.608770000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41139447-0.41144241) × cos(0.21171952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977671018038183 × 6371000     		do = 298.60589416067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41139447-0.41144241) × cos(0.21167265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.977680866288658 × 6371000     		du = 298.608902069859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21171952)-sin(0.21167265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977671018038183-0.977680866288658)×R²
    abs(0.41144241-0.41139447)×9.8482504745645e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.8482504745645e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.8482504745645e-06×40589641000000     		ar = 89166.7878804233m²