Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74118 / 60561
↖ ↑ ↗
← N 13.536530°
E 23.571167°		 ← 296.94 m → N 13.536530°
E 23.573914°		 →
↑
296.89 m
↓
↑
296.89 m
↓
N 13.533860°
E 23.571167°		 ← 296.94 m →
88 159 m²		 N 13.533860°
E 23.573914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565479278564453 y=0.462047576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565479278564453 × 217)
    floor (0.565479278564453 × 131072)
    floor (74118.5)     		tx = 74118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462047576904297 × 217)
    floor (0.462047576904297 × 131072)
    floor (60561.5)     		ty = 60561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74118 / 60561 ti = "17/74118/60561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74118/60561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74118 ÷ 217
    74118 ÷ 131072     		x = 0.565475463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60561 ÷ 217
    60561 ÷ 131072     		y = 0.462043762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565475463867188 × 2 - 1) × π
    0.130950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41139447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462043762207031 × 2 - 1) × π
    0.0759124755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.238486075609779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41139447} λ = 0.41139447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.238486075609779))-π/2
    2×atan(1.26932603132238)-π/2
    2×0.90352667577795-π/2
    1.8070533515559-1.57079632675     		φ = 0.23625702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41139447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.571167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23625702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.536530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74118 KachelY 60561 0.41139447 0.23625702 23.571167 13.536530
    Oben rechts KachelX + 1 74119 KachelY 60561 0.41144241 0.23625702 23.573914 13.536530
    Unten links KachelX 74118 KachelY + 1 60562 0.41139447 0.23621042 23.571167 13.533860
    Unten rechts KachelX + 1 74119 KachelY + 1 60562 0.41144241 0.23621042 23.573914 13.533860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23625702-0.23621042) × R
    4.66000000000077e-05 × 6371000     		dl = 296.888600000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23625702-0.23621042) × R
    4.66000000000077e-05 × 6371000     		dr = 296.888600000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41139447-0.41144241) × cos(0.23625702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972220884785569 × 6371000     		do = 296.941283178893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41139447-0.41144241) × cos(0.23621042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972231791171586 × 6371000     		du = 296.944614269912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23625702)-sin(0.23621042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972220884785569-0.972231791171586)×R²
    abs(0.41144241-0.41139447)×1.09063860164182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09063860164182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09063860164182e-05×40589641000000     		ar = 88158.9763426208m²