Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74117 / 61047
↖ ↑ ↗
← N 12.235339°
E 23.568421°		 ← 298.43 m → N 12.235339°
E 23.571167°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 12.232655°
E 23.568421°		 ← 298.43 m →
89 075 m²		 N 12.232655°
E 23.571167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565471649169922 y=0.465755462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565471649169922 × 217)
    floor (0.565471649169922 × 131072)
    floor (74117.5)     		tx = 74117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465755462646484 × 217)
    floor (0.465755462646484 × 131072)
    floor (61047.5)     		ty = 61047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74117 / 61047 ti = "17/74117/61047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74117/61047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74117 ÷ 217
    74117 ÷ 131072     		x = 0.565467834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61047 ÷ 217
    61047 ÷ 131072     		y = 0.465751647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565467834472656 × 2 - 1) × π
    0.130935668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41134654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465751647949219 × 2 - 1) × π
    0.0684967041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.215188742394432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41134654} λ = 0.41134654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215188742394432))-π/2
    2×atan(1.24009593355488)-π/2
    2×0.892171639111634-π/2
    1.78434327822327-1.57079632675     		φ = 0.21354695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41134654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.568421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21354695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.235339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74117 KachelY 61047 0.41134654 0.21354695 23.568421 12.235339
    Oben rechts KachelX + 1 74118 KachelY 61047 0.41139447 0.21354695 23.571167 12.235339
    Unten links KachelX 74117 KachelY + 1 61048 0.41134654 0.21350010 23.568421 12.232655
    Unten rechts KachelX + 1 74118 KachelY + 1 61048 0.41139447 0.21350010 23.571167 12.232655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21354695-0.21350010) × R
    4.68500000000149e-05 × 6371000     		dl = 298.481350000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21354695-0.21350010) × R
    4.68500000000149e-05 × 6371000     		dr = 298.481350000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41134654-0.41139447) × cos(0.21354695) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.977285367206991 × 6371000     		do = 298.425843619805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41134654-0.41139447) × cos(0.21350010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.977295294942891 × 6371000     		du = 298.428875173393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21354695)-sin(0.21350010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977285367206991-0.977295294942891)×R²
    abs(0.41139447-0.41134654)×9.92773589947316e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.92773589947316e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.92773589947316e-06×40589641000000     		ar = 89075.0011259912m²