Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74117 / 60563
↖ ↑ ↗
← N 13.531190°
E 23.568421°		 ← 296.89 m → N 13.531190°
E 23.571167°		 →
↑
296.89 m
↓
↑
296.89 m
↓
N 13.528520°
E 23.568421°		 ← 296.89 m →
88 143 m²		 N 13.528520°
E 23.571167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565471649169922 y=0.462062835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565471649169922 × 217)
    floor (0.565471649169922 × 131072)
    floor (74117.5)     		tx = 74117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462062835693359 × 217)
    floor (0.462062835693359 × 131072)
    floor (60563.5)     		ty = 60563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74117 / 60563 ti = "17/74117/60563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74117/60563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74117 ÷ 217
    74117 ÷ 131072     		x = 0.565467834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60563 ÷ 217
    60563 ÷ 131072     		y = 0.462059020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565467834472656 × 2 - 1) × π
    0.130935668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41134654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462059020996094 × 2 - 1) × π
    0.0758819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.238390201810539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41134654} λ = 0.41134654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.238390201810539))-π/2
    2×atan(1.26920434204678)-π/2
    2×0.903480070000177-π/2
    1.80696014000035-1.57079632675     		φ = 0.23616381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41134654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.568421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23616381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.531190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74117 KachelY 60563 0.41134654 0.23616381 23.568421 13.531190
    Oben rechts KachelX + 1 74118 KachelY 60563 0.41139447 0.23616381 23.571167 13.531190
    Unten links KachelX 74117 KachelY + 1 60564 0.41134654 0.23611721 23.568421 13.528520
    Unten rechts KachelX + 1 74118 KachelY + 1 60564 0.41139447 0.23611721 23.571167 13.528520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23616381-0.23611721) × R
    4.66000000000077e-05 × 6371000     		dl = 296.888600000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23616381-0.23611721) × R
    4.66000000000077e-05 × 6371000     		dr = 296.888600000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41134654-0.41139447) × cos(0.23616381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.972242697786089 × 6371000     		do = 296.886003848818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41134654-0.41139447) × cos(0.23611721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.97225359994911 × 6371000     		du = 296.88933295545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23616381)-sin(0.23611721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972242697786089-0.97225359994911)×R²
    abs(0.41139447-0.41134654)×1.09021630204653e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.09021630204653e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.09021630204653e-05×40589641000000     		ar = 88142.5642451667m²