Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74117 / 56131
↖ ↑ ↗
← N 24.998505°
E 23.568421°		 ← 276.76 m → N 24.998505°
E 23.571167°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
N 24.996015°
E 23.568421°		 ← 276.76 m →
76 612 m²		 N 24.996015°
E 23.571167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565471649169922 y=0.428249359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565471649169922 × 217)
    floor (0.565471649169922 × 131072)
    floor (74117.5)     		tx = 74117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428249359130859 × 217)
    floor (0.428249359130859 × 131072)
    floor (56131.5)     		ty = 56131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74117 / 56131 ti = "17/74117/56131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74117/56131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74117 ÷ 217
    74117 ÷ 131072     		x = 0.565467834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56131 ÷ 217
    56131 ÷ 131072     		y = 0.428245544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565467834472656 × 2 - 1) × π
    0.130935668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41134654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428245544433594 × 2 - 1) × π
    0.143508911132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.450846540926628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41134654} λ = 0.41134654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450846540926628))-π/2
    2×atan(1.56964038805051)-π/2
    2×1.00355127395857-π/2
    2.00710254791714-1.57079632675     		φ = 0.43630622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41134654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.568421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43630622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.998505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74117 KachelY 56131 0.41134654 0.43630622 23.568421 24.998505
    Oben rechts KachelX + 1 74118 KachelY 56131 0.41139447 0.43630622 23.571167 24.998505
    Unten links KachelX 74117 KachelY + 1 56132 0.41134654 0.43626277 23.568421 24.996015
    Unten rechts KachelX + 1 74118 KachelY + 1 56132 0.41139447 0.43626277 23.571167 24.996015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43630622-0.43626277) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dl = 276.819950000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43630622-0.43626277) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dr = 276.819950000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41134654-0.41139447) × cos(0.43630622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906318814105826 × 6371000     		do = 276.755352902717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41134654-0.41139447) × cos(0.43626277) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906337174986248 × 6371000     		du = 276.760959618435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43630622)-sin(0.43626277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906318814105826-0.906337174986248)×R²
    abs(0.41139447-0.41134654)×1.83608804217306e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83608804217306e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83608804217306e-05×40589641000000     		ar = 76612.1789901802m²