Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74113 / 54657
↖ ↑ ↗
← N 28.611048°
E 23.557434°		 ← 268.07 m → N 28.611048°
E 23.560180°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
N 28.608637°
E 23.557434°		 ← 268.08 m →
71 869 m²		 N 28.608637°
E 23.560180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565441131591797 y=0.417003631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565441131591797 × 217)
    floor (0.565441131591797 × 131072)
    floor (74113.5)     		tx = 74113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417003631591797 × 217)
    floor (0.417003631591797 × 131072)
    floor (54657.5)     		ty = 54657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74113 / 54657 ti = "17/74113/54657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74113/54657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74113 ÷ 217
    74113 ÷ 131072     		x = 0.565437316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54657 ÷ 217
    54657 ÷ 131072     		y = 0.416999816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565437316894531 × 2 - 1) × π
    0.130874633789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.41115479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416999816894531 × 2 - 1) × π
    0.166000366210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.521505530966591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41115479} λ = 0.41115479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.521505530966591))-π/2
    2×atan(1.68456190163087)-π/2
    2×1.03507666062168-π/2
    2.07015332124337-1.57079632675     		φ = 0.49935699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41115479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.557434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49935699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.611048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74113 KachelY 54657 0.41115479 0.49935699 23.557434 28.611048
    Oben rechts KachelX + 1 74114 KachelY 54657 0.41120272 0.49935699 23.560180 28.611048
    Unten links KachelX 74113 KachelY + 1 54658 0.41115479 0.49931491 23.557434 28.608637
    Unten rechts KachelX + 1 74114 KachelY + 1 54658 0.41120272 0.49931491 23.560180 28.608637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49935699-0.49931491) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dl = 268.091679999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49935699-0.49931491) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dr = 268.091679999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41115479-0.41120272) × cos(0.49935699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877890655861254 × 6371000     		do = 268.074472791988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41115479-0.41120272) × cos(0.49931491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.877910805560985 × 6371000     		du = 268.080625745202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49935699)-sin(0.49931491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877890655861254-0.877910805560985)×R²
    abs(0.41120272-0.41115479)×2.01496997306316e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01496997306316e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01496997306316e-05×40589641000000     		ar = 71869.3605642195m²