Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7411 / 7447
↖ ↑ ↗
← S 81.248348°
E145.678711°		 ← 743.49 m → S 81.248348°
E145.722656°		 →
↑
743.24 m
↓
↑
743.24 m
↓
S 81.255032°
E145.678711°		 ← 742.93 m →
552 382 m²		 S 81.255032°
E145.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90472412109375 y=0.90911865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90472412109375 × 213)
    floor (0.90472412109375 × 8192)
    floor (7411.5)     		tx = 7411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90911865234375 × 213)
    floor (0.90911865234375 × 8192)
    floor (7447.5)     		ty = 7447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7411 / 7447 ti = "13/7411/7447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7411/7447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7411 ÷ 213
    7411 ÷ 8192     		x = 0.9046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7447 ÷ 213
    7447 ÷ 8192     		y = 0.9090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9046630859375 × 2 - 1) × π
    0.809326171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54257316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57018481002893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54257316} λ = 2.54257316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57018481002893))-π/2
    2×atan(0.076521402194493)-π/2
    2×0.0763725670891775-π/2
    0.152745134178355-1.57079632675     		φ = -1.41805119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54257316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41805119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.248348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7411 KachelY 7447 2.54257316 -1.41805119 145.678711 -81.248348
    Oben rechts KachelX + 1 7412 KachelY 7447 2.54334015 -1.41805119 145.722656 -81.248348
    Unten links KachelX 7411 KachelY + 1 7448 2.54257316 -1.41816785 145.678711 -81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 7412 KachelY + 1 7448 2.54334015 -1.41816785 145.722656 -81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41805119--1.41816785) × R
    0.000116659999999991 × 6371000     		dl = 743.240859999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41805119--1.41816785) × R
    0.000116659999999991 × 6371000     		dr = 743.240859999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54257316-2.54334015) × cos(-1.41805119) × R
    0.000766990000000245 × 0.152151877866504 × 6371000     		do = 743.489130255808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54257316-2.54334015) × cos(-1.41816785) × R
    0.000766990000000245 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 742.925704008347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41805119)-sin(-1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152151877866504-0.152036575089231)×R²
    abs(2.54334015-2.54257316)×0.000115302777272563×R²
    0.000766990000000245×0.000115302777272563×6371000²
    0.000766990000000245×0.000115302777272563×40589641000000     		ar = 552382.120491397m²