Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7411 / 5294
↖ ↑ ↗
← N 76.398480°
W 98.580322°		 ← 287.29 m → N 76.398480°
W 98.569336°		 →
↑
287.33 m
↓
↑
287.33 m
↓
N 76.395896°
W 98.580322°		 ← 287.34 m →
82 555 m²		 N 76.395896°
W 98.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226181030273438 y=0.161575317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226181030273438 × 215)
    floor (0.226181030273438 × 32768)
    floor (7411.5)     		tx = 7411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161575317382812 × 215)
    floor (0.161575317382812 × 32768)
    floor (5294.5)     		ty = 5294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7411 / 5294 ti = "15/7411/5294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7411/5294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7411 ÷ 215
    7411 ÷ 32768     		x = 0.226165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5294 ÷ 215
    5294 ÷ 32768     		y = 0.16156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.54766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72055120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16156005859375 × 2 - 1) × π
    0.6768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12648086714569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72055120} λ = -1.72055120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12648086714569))-π/2
    2×atan(8.38530582221122)-π/2
    2×1.45210067218125-π/2
    2.90420134436249-1.57079632675     		φ = 1.33340502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72055120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33340502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.398480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7411 KachelY 5294 -1.72055120 1.33340502 -98.580322 76.398480
    Oben rechts KachelX + 1 7412 KachelY 5294 -1.72035945 1.33340502 -98.569336 76.398480
    Unten links KachelX 7411 KachelY + 1 5295 -1.72055120 1.33335992 -98.580322 76.395896
    Unten rechts KachelX + 1 7412 KachelY + 1 5295 -1.72035945 1.33335992 -98.569336 76.395896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33340502-1.33335992) × R
    4.51000000001311e-05 × 6371000     		dl = 287.332100000836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33340502-1.33335992) × R
    4.51000000001311e-05 × 6371000     		dr = 287.332100000836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72055120--1.72035945) × cos(1.33340502) × R
    0.000191750000000157 × 0.235167897710253 × 6371000     		do = 287.290334183065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72055120--1.72035945) × cos(1.33335992) × R
    0.000191750000000157 × 0.235211732630849 × 6371000     		du = 287.343884642587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33340502)-sin(1.33335992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235167897710253-0.235211732630849)×R²
    abs(-1.72035945--1.72055120)×4.38349205963973e-05×R²
    0.000191750000000157×4.38349205963973e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.38349205963973e-05×40589641000000     		ar = 82555.4284277734m²