Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7411 / 4874
↖ ↑ ↗
← N 58.699776°
W 17.160645°		 ← 1 269.34 m → N 58.699776°
W 17.138672°		 →
↑
1 269.55 m
↓
↑
1 269.55 m
↓
N 58.688359°
W 17.160645°		 ← 1 269.75 m →
1 611 751 m²		 N 58.688359°
W 17.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452362060546875 y=0.297515869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452362060546875 × 214)
    floor (0.452362060546875 × 16384)
    floor (7411.5)     		tx = 7411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297515869140625 × 214)
    floor (0.297515869140625 × 16384)
    floor (4874.5)     		ty = 4874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7411 / 4874 ti = "14/7411/4874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7411/4874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7411 ÷ 214
    7411 ÷ 16384     		x = 0.45233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4874 ÷ 214
    4874 ÷ 16384     		y = 0.2974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.0953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29950975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2974853515625 × 2 - 1) × π
    0.405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27243706351477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29950975} λ = -0.29950975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27243706351477))-π/2
    2×atan(3.56954116925982)-π/2
    2×1.29765034173595-π/2
    2.59530068347189-1.57079632675     		φ = 1.02450436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29950975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.160645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02450436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.699776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7411 KachelY 4874 -0.29950975 1.02450436 -17.160645 58.699776
    Oben rechts KachelX + 1 7412 KachelY 4874 -0.29912625 1.02450436 -17.138672 58.699776
    Unten links KachelX 7411 KachelY + 1 4875 -0.29950975 1.02430509 -17.160645 58.688359
    Unten rechts KachelX + 1 7412 KachelY + 1 4875 -0.29912625 1.02430509 -17.138672 58.688359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02450436-1.02430509) × R
    0.000199269999999974 × 6371000     		dl = 1269.54916999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02450436-1.02430509) × R
    0.000199269999999974 × 6371000     		dr = 1269.54916999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29950975--0.29912625) × cos(1.02450436) × R
    0.000383500000000037 × 0.519522453596238 × 6371000     		do = 1269.33804113906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29950975--0.29912625) × cos(1.02430509) × R
    0.000383500000000037 × 0.519692710886577 × 6371000     		du = 1269.75402711601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02450436)-sin(1.02430509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519522453596238-0.519692710886577)×R²
    abs(-0.29912625--0.29950975)×0.000170257290338816×R²
    0.000383500000000037×0.000170257290338816×6371000²
    0.000383500000000037×0.000170257290338816×40589641000000     		ar = 1611751.11923586m²