Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74106 / 61040
↖ ↑ ↗
← N 12.254128°
E 23.538208°		 ← 298.47 m → N 12.254128°
E 23.540955°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 12.251444°
E 23.538208°		 ← 298.47 m →
89 087 m²		 N 12.251444°
E 23.540955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565387725830078 y=0.465702056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565387725830078 × 217)
    floor (0.565387725830078 × 131072)
    floor (74106.5)     		tx = 74106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465702056884766 × 217)
    floor (0.465702056884766 × 131072)
    floor (61040.5)     		ty = 61040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74106 / 61040 ti = "17/74106/61040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74106/61040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74106 ÷ 217
    74106 ÷ 131072     		x = 0.565383911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61040 ÷ 217
    61040 ÷ 131072     		y = 0.4656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565383911132812 × 2 - 1) × π
    0.130767822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41081923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4656982421875 × 2 - 1) × π
    0.068603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.215524300691772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41081923} λ = 0.41081923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215524300691772))-π/2
    2×atan(1.2405121278597)-π/2
    2×0.892335601385481-π/2
    1.78467120277096-1.57079632675     		φ = 0.21387488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41081923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.538208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21387488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.254128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74106 KachelY 61040 0.41081923 0.21387488 23.538208 12.254128
    Oben rechts KachelX + 1 74107 KachelY 61040 0.41086717 0.21387488 23.540955 12.254128
    Unten links KachelX 74106 KachelY + 1 61041 0.41081923 0.21382803 23.538208 12.251444
    Unten rechts KachelX + 1 74107 KachelY + 1 61041 0.41086717 0.21382803 23.540955 12.251444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21387488-0.21382803) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21387488-0.21382803) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41081923-0.41086717) × cos(0.21387488) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.97721581724004 × 6371000     		do = 298.466864120394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41081923-0.41086717) × cos(0.21382803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977225759990025 × 6371000     		du = 298.469900892166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21387488)-sin(0.21382803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97721581724004-0.977225759990025)×R²
    abs(0.41086717-0.41081923)×9.94274998544764e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.94274998544764e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.94274998544764e-06×40589641000000     		ar = 89087.245759068m²