Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74105 / 60777
↖ ↑ ↗
← N 12.959059°
E 23.535461°		 ← 297.65 m → N 12.959059°
E 23.538208°		 →
↑
297.59 m
↓
↑
297.59 m
↓
N 12.956383°
E 23.535461°		 ← 297.65 m →
88 577 m²		 N 12.956383°
E 23.538208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565380096435547 y=0.463695526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565380096435547 × 217)
    floor (0.565380096435547 × 131072)
    floor (74105.5)     		tx = 74105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463695526123047 × 217)
    floor (0.463695526123047 × 131072)
    floor (60777.5)     		ty = 60777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74105 / 60777 ti = "17/74105/60777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74105/60777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74105 ÷ 217
    74105 ÷ 131072     		x = 0.565376281738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60777 ÷ 217
    60777 ÷ 131072     		y = 0.463691711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565376281738281 × 2 - 1) × π
    0.130752563476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41077129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463691711425781 × 2 - 1) × π
    0.0726165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.228131705291847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41077129} λ = 0.41077129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228131705291847))-π/2
    2×atan(1.2562507694114)-π/2
    2×0.89848728915485-π/2
    1.7969745783097-1.57079632675     		φ = 0.22617825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41077129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.535461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22617825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.959059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74105 KachelY 60777 0.41077129 0.22617825 23.535461 12.959059
    Oben rechts KachelX + 1 74106 KachelY 60777 0.41081923 0.22617825 23.538208 12.959059
    Unten links KachelX 74105 KachelY + 1 60778 0.41077129 0.22613154 23.535461 12.956383
    Unten rechts KachelX + 1 74106 KachelY + 1 60778 0.41081923 0.22613154 23.538208 12.956383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22617825-0.22613154) × R
    4.67100000000054e-05 × 6371000     		dl = 297.589410000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22617825-0.22613154) × R
    4.67100000000054e-05 × 6371000     		dr = 297.589410000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41077129-0.41081923) × cos(0.22617825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974530555418463 × 6371000     		do = 297.6467160411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41077129-0.41081923) × cos(0.22613154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974541029295086 × 6371000     		du = 297.649915032618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22617825)-sin(0.22613154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974530555418463-0.974541029295086)×R²
    abs(0.41081923-0.41077129)×1.04738766224521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04738766224521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04738766224521e-05×40589641000000     		ar = 88576.9866242237m²