Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74104 / 90536
↖ ↑ ↗
← S 56.426054°
E 23.532715°		 ← 168.87 m → S 56.426054°
E 23.535461°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
S 56.427573°
E 23.532715°		 ← 168.86 m →
28 521 m²		 S 56.427573°
E 23.535461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565372467041016 y=0.690738677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565372467041016 × 217)
    floor (0.565372467041016 × 131072)
    floor (74104.5)     		tx = 74104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690738677978516 × 217)
    floor (0.690738677978516 × 131072)
    floor (90536.5)     		ty = 90536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74104 / 90536 ti = "17/74104/90536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74104/90536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74104 ÷ 217
    74104 ÷ 131072     		x = 0.56536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90536 ÷ 217
    90536 ÷ 131072     		y = 0.69073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56536865234375 × 2 - 1) × π
    0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.3814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1984224905014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41072336} λ = 0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1984224905014))-π/2
    2×atan(0.301669723605912)-π/2
    2×0.292987946148544-π/2
    0.585975892297087-1.57079632675     		φ = -0.98482043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98482043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.426054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74104 KachelY 90536 0.41072336 -0.98482043 23.532715 -56.426054
    Oben rechts KachelX + 1 74105 KachelY 90536 0.41077129 -0.98482043 23.535461 -56.426054
    Unten links KachelX 74104 KachelY + 1 90537 0.41072336 -0.98484694 23.532715 -56.427573
    Unten rechts KachelX + 1 74105 KachelY + 1 90537 0.41077129 -0.98484694 23.535461 -56.427573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98482043--0.98484694) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98482043--0.98484694) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41072336-0.41077129) × cos(-0.98482043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.553012736203267 × 6371000     		do = 168.869091742988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41072336-0.41077129) × cos(-0.98484694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.552990648598036 × 6371000     		du = 168.862347027016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98482043)-sin(-0.98484694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553012736203267-0.552990648598036)×R²
    abs(0.41077129-0.41072336)×2.20876052317021e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20876052317021e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20876052317021e-05×40589641000000     		ar = 28520.6111389832m²