Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74103 / 54990
↖ ↑ ↗
← N 27.805069°
E 23.529968°		 ← 270.16 m → N 27.805069°
E 23.532715°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
N 27.802639°
E 23.529968°		 ← 270.17 m →
72 980 m²		 N 27.802639°
E 23.532715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565364837646484 y=0.419544219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565364837646484 × 217)
    floor (0.565364837646484 × 131072)
    floor (74103.5)     		tx = 74103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419544219970703 × 217)
    floor (0.419544219970703 × 131072)
    floor (54990.5)     		ty = 54990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74103 / 54990 ti = "17/74103/54990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74103/54990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74103 ÷ 217
    74103 ÷ 131072     		x = 0.565361022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54990 ÷ 217
    54990 ÷ 131072     		y = 0.419540405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565361022949219 × 2 - 1) × π
    0.130722045898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41067542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419540405273438 × 2 - 1) × π
    0.160919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.505542543393112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41067542} λ = 0.41067542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505542543393112))-π/2
    2×atan(1.65788475092117)-π/2
    2×1.02804316450728-π/2
    2.05608632901455-1.57079632675     		φ = 0.48529000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41067542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.529968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48529000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.805069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74103 KachelY 54990 0.41067542 0.48529000 23.529968 27.805069
    Oben rechts KachelX + 1 74104 KachelY 54990 0.41072336 0.48529000 23.532715 27.805069
    Unten links KachelX 74103 KachelY + 1 54991 0.41067542 0.48524760 23.529968 27.802639
    Unten rechts KachelX + 1 74104 KachelY + 1 54991 0.41072336 0.48524760 23.532715 27.802639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48529000-0.48524760) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dl = 270.130399999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48529000-0.48524760) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dr = 270.130399999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41067542-0.41072336) × cos(0.48529000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884539711485602 × 6371000     		do = 270.161195939699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41067542-0.41072336) × cos(0.48524760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884559488802073 × 6371000     		du = 270.167236441218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48529000)-sin(0.48524760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884539711485602-0.884559488802073)×R²
    abs(0.41072336-0.41067542)×1.97773164714032e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97773164714032e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97773164714032e-05×40589641000000     		ar = 72979.5677961348m²