Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7410 / 7950
↖ ↑ ↗
← N 79.418258°
W139.295654°		 ← 112.16 m → N 79.418258°
W139.290161°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
N 79.417249°
W139.295654°		 ← 112.17 m →
12 585 m²		 N 79.417249°
W139.290161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113075256347656 y=0.121315002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113075256347656 × 216)
    floor (0.113075256347656 × 65536)
    floor (7410.5)     		tx = 7410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121315002441406 × 216)
    floor (0.121315002441406 × 65536)
    floor (7950.5)     		ty = 7950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7410 / 7950 ti = "16/7410/7950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7410/7950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7410 ÷ 216
    7410 ÷ 65536     		x = 0.113067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7950 ÷ 216
    7950 ÷ 65536     		y = 0.121307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.77386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.43116780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121307373046875 × 2 - 1) × π
    0.75738525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37939594954111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43116780} λ = -2.43116780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37939594954111))-π/2
    2×atan(10.7983781282312)-π/2
    2×1.47845320327295-π/2
    2.95690640654591-1.57079632675     		φ = 1.38611008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43116780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.295654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38611008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.418258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7410 KachelY 7950 -2.43116780 1.38611008 -139.295654 79.418258
    Oben rechts KachelX + 1 7411 KachelY 7950 -2.43107193 1.38611008 -139.290161 79.418258
    Unten links KachelX 7410 KachelY + 1 7951 -2.43116780 1.38609247 -139.295654 79.417249
    Unten rechts KachelX + 1 7411 KachelY + 1 7951 -2.43107193 1.38609247 -139.290161 79.417249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38611008-1.38609247) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38611008-1.38609247) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43116780--2.43107193) × cos(1.38611008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183638125080107 × 6371000     		do = 112.163920904657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43116780--2.43107193) × cos(1.38609247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183655435574493 × 6371000     		du = 112.174493942921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38611008)-sin(1.38609247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183638125080107-0.183655435574493)×R²
    abs(-2.43107193--2.43116780)×1.73104943867741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73104943867741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73104943867741e-05×40589641000000     		ar = 12584.6346611836m²