Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7410 / 5297
↖ ↑ ↗
← N 76.390727°
W 98.591309°		 ← 287.45 m → N 76.390727°
W 98.580322°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 76.388142°
W 98.591309°		 ← 287.50 m →
82 638 m²		 N 76.388142°
W 98.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226150512695312 y=0.161666870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226150512695312 × 215)
    floor (0.226150512695312 × 32768)
    floor (7410.5)     		tx = 7410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161666870117188 × 215)
    floor (0.161666870117188 × 32768)
    floor (5297.5)     		ty = 5297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7410 / 5297 ti = "15/7410/5297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7410/5297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7410 ÷ 215
    7410 ÷ 32768     		x = 0.22613525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5297 ÷ 215
    5297 ÷ 32768     		y = 0.161651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.5477294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72074295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161651611328125 × 2 - 1) × π
    0.67669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12590562435025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72074295} λ = -1.72074295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12590562435025))-π/2
    2×atan(8.38048362255021)-π/2
    2×1.4520330139489-π/2
    2.9040660278978-1.57079632675     		φ = 1.33326970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72074295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.591309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33326970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.390727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7410 KachelY 5297 -1.72074295 1.33326970 -98.591309 76.390727
    Oben rechts KachelX + 1 7411 KachelY 5297 -1.72055120 1.33326970 -98.580322 76.390727
    Unten links KachelX 7410 KachelY + 1 5298 -1.72074295 1.33322458 -98.591309 76.388142
    Unten rechts KachelX + 1 7411 KachelY + 1 5298 -1.72055120 1.33322458 -98.580322 76.388142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33326970-1.33322458) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33326970-1.33322458) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72074295--1.72055120) × cos(1.33326970) × R
    0.000191749999999935 × 0.235299420475142 × 6371000     		do = 287.45100755459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72074295--1.72055120) × cos(1.33322458) × R
    0.000191749999999935 × 0.235343273398236 × 6371000     		du = 287.504580006669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33326970)-sin(1.33322458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235299420475142-0.235343273398236)×R²
    abs(-1.72055120--1.72074295)×4.38529230938067e-05×R²
    0.000191749999999935×4.38529230938067e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.38529230938067e-05×40589641000000     		ar = 82638.2286245207m²