Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7410 / 3711
↖ ↑ ↗
← N 69.664724°
W 17.182617°		 ← 849.05 m → N 69.664724°
W 17.160645°		 →
↑
849.25 m
↓
↑
849.25 m
↓
N 69.657086°
W 17.182617°		 ← 849.35 m →
721 188 m²		 N 69.657086°
W 17.160645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452301025390625 y=0.226531982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452301025390625 × 214)
    floor (0.452301025390625 × 16384)
    floor (7410.5)     		tx = 7410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226531982421875 × 214)
    floor (0.226531982421875 × 16384)
    floor (3711.5)     		ty = 3711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7410 / 3711 ti = "14/7410/3711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7410/3711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7410 ÷ 214
    7410 ÷ 16384     		x = 0.4522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3711 ÷ 214
    3711 ÷ 16384     		y = 0.22650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29989324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22650146484375 × 2 - 1) × π
    0.5469970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71844197757977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29989324} λ = -0.29989324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71844197757977))-π/2
    2×atan(5.57583441824032)-π/2
    2×1.39333756156603-π/2
    2.78667512313205-1.57079632675     		φ = 1.21587880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29989324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21587880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.664724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7410 KachelY 3711 -0.29989324 1.21587880 -17.182617 69.664724
    Oben rechts KachelX + 1 7411 KachelY 3711 -0.29950975 1.21587880 -17.160645 69.664724
    Unten links KachelX 7410 KachelY + 1 3712 -0.29989324 1.21574550 -17.182617 69.657086
    Unten rechts KachelX + 1 7411 KachelY + 1 3712 -0.29950975 1.21574550 -17.160645 69.657086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21587880-1.21574550) × R
    0.000133300000000114 × 6371000     		dl = 849.254300000725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21587880-1.21574550) × R
    0.000133300000000114 × 6371000     		dr = 849.254300000725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29989324--0.29950975) × cos(1.21587880) × R
    0.000383489999999986 × 0.34751303334256 × 6371000     		do = 849.048982780275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29989324--0.29950975) × cos(1.21574550) × R
    0.000383489999999986 × 0.347638022352561 × 6371000     		du = 849.354357778096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21587880)-sin(1.21574550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34751303334256-0.347638022352561)×R²
    abs(-0.29950975--0.29989324)×0.000124989010000687×R²
    0.000383489999999986×0.000124989010000687×6371000²
    0.000383489999999986×0.000124989010000687×40589641000000     		ar = 721188.171119565m²