Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74098 / 60832
↖ ↑ ↗
← N 12.811802°
E 23.516235°		 ← 297.82 m → N 12.811802°
E 23.518982°		 →
↑
297.84 m
↓
↑
297.84 m
↓
N 12.809123°
E 23.516235°		 ← 297.82 m →
88 705 m²		 N 12.809123°
E 23.518982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565326690673828 y=0.464115142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565326690673828 × 217)
    floor (0.565326690673828 × 131072)
    floor (74098.5)     		tx = 74098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464115142822266 × 217)
    floor (0.464115142822266 × 131072)
    floor (60832.5)     		ty = 60832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74098 / 60832 ti = "17/74098/60832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74098/60832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74098 ÷ 217
    74098 ÷ 131072     		x = 0.565322875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60832 ÷ 217
    60832 ÷ 131072     		y = 0.464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565322875976562 × 2 - 1) × π
    0.130645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41043573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    0.07177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.225495175812744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41043573} λ = 0.41043573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225495175812744))-π/2
    2×atan(1.25294298967021)-π/2
    2×0.897202221437161-π/2
    1.79440444287432-1.57079632675     		φ = 0.22360812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41043573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.516235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22360812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.811802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74098 KachelY 60832 0.41043573 0.22360812 23.516235 12.811802
    Oben rechts KachelX + 1 74099 KachelY 60832 0.41048367 0.22360812 23.518982 12.811802
    Unten links KachelX 74098 KachelY + 1 60833 0.41043573 0.22356137 23.516235 12.809123
    Unten rechts KachelX + 1 74099 KachelY + 1 60833 0.41048367 0.22356137 23.518982 12.809123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22360812-0.22356137) × R
    4.67499999999843e-05 × 6371000     		dl = 297.8442499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22360812-0.22356137) × R
    4.67499999999843e-05 × 6371000     		dr = 297.8442499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41043573-0.41048367) × cos(0.22360812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975103700003249 × 6371000     		do = 297.82176915038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41043573-0.41048367) × cos(0.22356137) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975114065719784 × 6371000     		du = 297.824935107023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22360812)-sin(0.22356137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975103700003249-0.975114065719784)×R²
    abs(0.41048367-0.41043573)×1.03657165352322e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.03657165352322e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.03657165352322e-05×40589641000000     		ar = 88704.9729633917m²