Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74096 / 78258
↖ ↑ ↗
← S 32.957977°
E 23.510742°		 ← 256.27 m → S 32.957977°
E 23.513489°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
S 32.960282°
E 23.510742°		 ← 256.27 m →
65 667 m²		 S 32.960282°
E 23.513489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565311431884766 y=0.597064971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565311431884766 × 217)
    floor (0.565311431884766 × 131072)
    floor (74096.5)     		tx = 74096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597064971923828 × 217)
    floor (0.597064971923828 × 131072)
    floor (78258.5)     		ty = 78258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74096 / 78258 ti = "17/74096/78258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74096/78258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74096 ÷ 217
    74096 ÷ 131072     		x = 0.5653076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78258 ÷ 217
    78258 ÷ 131072     		y = 0.597061157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5653076171875 × 2 - 1) × π
    0.130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41033986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597061157226562 × 2 - 1) × π
    -0.194122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.609853236966354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41033986} λ = 0.41033986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.609853236966354))-π/2
    2×atan(0.543430618748388)-π/2
    2×0.497785553068129-π/2
    0.995571106136257-1.57079632675     		φ = -0.57522522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41033986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.510742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57522522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.957977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74096 KachelY 78258 0.41033986 -0.57522522 23.510742 -32.957977
    Oben rechts KachelX + 1 74097 KachelY 78258 0.41038780 -0.57522522 23.513489 -32.957977
    Unten links KachelX 74096 KachelY + 1 78259 0.41033986 -0.57526544 23.510742 -32.960282
    Unten rechts KachelX + 1 74097 KachelY + 1 78259 0.41038780 -0.57526544 23.513489 -32.960282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57522522--0.57526544) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dl = 256.241620000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57522522--0.57526544) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dr = 256.241620000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41033986-0.41038780) × cos(-0.57522522) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.839069798666516 × 6371000     		do = 256.2735141695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41033986-0.41038780) × cos(-0.57526544) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83904791735144 × 6371000     		du = 256.266831052651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57522522)-sin(-0.57526544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839069798666516-0.83904791735144)×R²
    abs(0.41038780-0.41033986)×2.18813150767438e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18813150767438e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18813150767438e-05×40589641000000     		ar = 65667.0841963535m²