Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74095 / 56117
↖ ↑ ↗
← N 25.033350°
E 23.507995°		 ← 276.73 m → N 25.033350°
E 23.510742°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 25.030862°
E 23.507995°		 ← 276.74 m →
76 571 m²		 N 25.030862°
E 23.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565303802490234 y=0.428142547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565303802490234 × 217)
    floor (0.565303802490234 × 131072)
    floor (74095.5)     		tx = 74095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428142547607422 × 217)
    floor (0.428142547607422 × 131072)
    floor (56117.5)     		ty = 56117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74095 / 56117 ti = "17/74095/56117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74095/56117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74095 ÷ 217
    74095 ÷ 131072     		x = 0.565299987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56117 ÷ 217
    56117 ÷ 131072     		y = 0.428138732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565299987792969 × 2 - 1) × π
    0.130599975585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41029192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428138732910156 × 2 - 1) × π
    0.143722534179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.451517657521309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41029192} λ = 0.41029192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451517657521309))-π/2
    2×atan(1.57069415332274)-π/2
    2×1.00385535361568-π/2
    2.00771070723135-1.57079632675     		φ = 0.43691438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41029192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.507995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43691438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.033350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74095 KachelY 56117 0.41029192 0.43691438 23.507995 25.033350
    Oben rechts KachelX + 1 74096 KachelY 56117 0.41033986 0.43691438 23.510742 25.033350
    Unten links KachelX 74095 KachelY + 1 56118 0.41029192 0.43687095 23.507995 25.030862
    Unten rechts KachelX + 1 74096 KachelY + 1 56118 0.41033986 0.43687095 23.510742 25.030862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43691438-0.43687095) × R
    4.3430000000011e-05 × 6371000     		dl = 276.69253000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43691438-0.43687095) × R
    4.3430000000011e-05 × 6371000     		dr = 276.69253000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41029192-0.41033986) × cos(0.43691438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906061641376746 × 6371000     		do = 276.734547303246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41029192-0.41033986) × cos(0.43687095) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906080017740955 × 6371000     		du = 276.740159917883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43691438)-sin(0.43687095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906061641376746-0.906080017740955)×R²
    abs(0.41033986-0.41029192)×1.83763642087609e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83763642087609e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83763642087609e-05×40589641000000     		ar = 76571.1585280327m²