Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74090 / 54938
↖ ↑ ↗
← N 27.931328°
E 23.494263°		 ← 269.85 m → N 27.931328°
E 23.497009°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
N 27.928900°
E 23.494263°		 ← 269.85 m →
72 826 m²		 N 27.928900°
E 23.497009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565265655517578 y=0.419147491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565265655517578 × 217)
    floor (0.565265655517578 × 131072)
    floor (74090.5)     		tx = 74090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419147491455078 × 217)
    floor (0.419147491455078 × 131072)
    floor (54938.5)     		ty = 54938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74090 / 54938 ti = "17/74090/54938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74090/54938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74090 ÷ 217
    74090 ÷ 131072     		x = 0.565261840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54938 ÷ 217
    54938 ÷ 131072     		y = 0.419143676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565261840820312 × 2 - 1) × π
    0.130523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41005224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419143676757812 × 2 - 1) × π
    0.161712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.508035262173355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41005224} λ = 0.41005224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508035262173355))-π/2
    2×atan(1.66202254641297)-π/2
    2×1.02914497728957-π/2
    2.05828995457914-1.57079632675     		φ = 0.48749363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41005224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.494263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48749363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.931328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74090 KachelY 54938 0.41005224 0.48749363 23.494263 27.931328
    Oben rechts KachelX + 1 74091 KachelY 54938 0.41010018 0.48749363 23.497009 27.931328
    Unten links KachelX 74090 KachelY + 1 54939 0.41005224 0.48745127 23.494263 27.928900
    Unten rechts KachelX + 1 74091 KachelY + 1 54939 0.41010018 0.48745127 23.497009 27.928900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48749363-0.48745127) × R
    4.2360000000019e-05 × 6371000     		dl = 269.875560000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48749363-0.48745127) × R
    4.2360000000019e-05 × 6371000     		dr = 269.875560000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41005224-0.41010018) × cos(0.48749363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883509648624693 × 6371000     		do = 269.84658822816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41005224-0.41010018) × cos(0.48745127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883529489804987 × 6371000     		du = 269.852648235334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48749363)-sin(0.48745127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883509648624693-0.883529489804987)×R²
    abs(0.41010018-0.41005224)×1.98411802941889e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98411802941889e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98411802941889e-05×40589641000000     		ar = 72825.8168470019m²