Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7409 / 3410
↖ ↑ ↗
← N 71.842539°
W 17.204590°		 ← 761.40 m → N 71.842539°
W 17.182617°		 →
↑
761.53 m
↓
↑
761.53 m
↓
N 71.835691°
W 17.204590°		 ← 761.68 m →
579 930 m²		 N 71.835691°
W 17.182617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452239990234375 y=0.208160400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452239990234375 × 214)
    floor (0.452239990234375 × 16384)
    floor (7409.5)     		tx = 7409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208160400390625 × 214)
    floor (0.208160400390625 × 16384)
    floor (3410.5)     		ty = 3410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7409 / 3410 ti = "14/7409/3410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7409/3410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7409 ÷ 214
    7409 ÷ 16384     		x = 0.45220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3410 ÷ 214
    3410 ÷ 16384     		y = 0.2081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30027674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2081298828125 × 2 - 1) × π
    0.583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83387403186487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30027674} λ = -0.30027674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83387403186487))-π/2
    2×atan(6.25808377401728)-π/2
    2×1.41234258952945-π/2
    2.8246851790589-1.57079632675     		φ = 1.25388885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30027674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.204590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25388885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.842539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7409 KachelY 3410 -0.30027674 1.25388885 -17.204590 71.842539
    Oben rechts KachelX + 1 7410 KachelY 3410 -0.29989324 1.25388885 -17.182617 71.842539
    Unten links KachelX 7409 KachelY + 1 3411 -0.30027674 1.25376932 -17.204590 71.835691
    Unten rechts KachelX + 1 7410 KachelY + 1 3411 -0.29989324 1.25376932 -17.182617 71.835691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25388885-1.25376932) × R
    0.00011953000000009 × 6371000     		dl = 761.525630000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25388885-1.25376932) × R
    0.00011953000000009 × 6371000     		dr = 761.525630000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30027674--0.29989324) × cos(1.25388885) × R
    0.000383499999999981 × 0.311629528528808 × 6371000     		do = 761.397727019536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30027674--0.29989324) × cos(1.25376932) × R
    0.000383499999999981 × 0.311743104148435 × 6371000     		du = 761.675223889094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25388885)-sin(1.25376932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311629528528808-0.311743104148435)×R²
    abs(-0.29989324--0.30027674)×0.000113575619626771×R²
    0.000383499999999981×0.000113575619626771×6371000²
    0.000383499999999981×0.000113575619626771×40589641000000     		ar = 579929.54492934m²