Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74088 / 56680
↖ ↑ ↗
← N 23.624395°
E 23.488770°		 ← 279.77 m → N 23.624395°
E 23.491516°		 →
↑
279.81 m
↓
↑
279.81 m
↓
N 23.621878°
E 23.488770°		 ← 279.78 m →
78 284 m²		 N 23.621878°
E 23.491516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565250396728516 y=0.432437896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565250396728516 × 217)
    floor (0.565250396728516 × 131072)
    floor (74088.5)     		tx = 74088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432437896728516 × 217)
    floor (0.432437896728516 × 131072)
    floor (56680.5)     		ty = 56680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74088 / 56680 ti = "17/74088/56680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74088/56680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74088 ÷ 217
    74088 ÷ 131072     		x = 0.56524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56680 ÷ 217
    56680 ÷ 131072     		y = 0.43243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56524658203125 × 2 - 1) × π
    0.1304931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40995637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43243408203125 × 2 - 1) × π
    0.1351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.424529183035217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40995637} λ = 0.40995637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424529183035217))-π/2
    2×atan(1.52887043204912)-π/2
    2×0.991559897907805-π/2
    1.98311979581561-1.57079632675     		φ = 0.41232347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40995637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.488770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41232347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.624395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74088 KachelY 56680 0.40995637 0.41232347 23.488770 23.624395
    Oben rechts KachelX + 1 74089 KachelY 56680 0.41000430 0.41232347 23.491516 23.624395
    Unten links KachelX 74088 KachelY + 1 56681 0.40995637 0.41227955 23.488770 23.621878
    Unten rechts KachelX + 1 74089 KachelY + 1 56681 0.41000430 0.41227955 23.491516 23.621878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41232347-0.41227955) × R
    4.39200000000306e-05 × 6371000     		dl = 279.814320000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41232347-0.41227955) × R
    4.39200000000306e-05 × 6371000     		dr = 279.814320000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40995637-0.41000430) × cos(0.41232347) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916192191291469 × 6371000     		do = 279.770307402758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40995637-0.41000430) × cos(0.41227955) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916209790871404 × 6371000     		du = 279.775681646215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41232347)-sin(0.41227955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916192191291469-0.916209790871404)×R²
    abs(0.41000430-0.40995637)×1.75995799349682e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.75995799349682e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.75995799349682e-05×40589641000000     		ar = 78284.4902298708m²