Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74087 / 56682
↖ ↑ ↗
← N 23.619362°
E 23.486023°		 ← 279.84 m → N 23.619362°
E 23.488770°		 →
↑
279.81 m
↓
↑
279.81 m
↓
N 23.616845°
E 23.486023°		 ← 279.84 m →
78 304 m²		 N 23.616845°
E 23.488770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565242767333984 y=0.432453155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565242767333984 × 217)
    floor (0.565242767333984 × 131072)
    floor (74087.5)     		tx = 74087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432453155517578 × 217)
    floor (0.432453155517578 × 131072)
    floor (56682.5)     		ty = 56682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74087 / 56682 ti = "17/74087/56682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74087/56682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74087 ÷ 217
    74087 ÷ 131072     		x = 0.565238952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56682 ÷ 217
    56682 ÷ 131072     		y = 0.432449340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565238952636719 × 2 - 1) × π
    0.130477905273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40990843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432449340820312 × 2 - 1) × π
    0.135101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.424433309235977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40990843} λ = 0.40990843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424433309235977))-π/2
    2×atan(1.52872386045856)-π/2
    2×0.991515977651024-π/2
    1.98303195530205-1.57079632675     		φ = 0.41223563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40990843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.486023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41223563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.619362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74087 KachelY 56682 0.40990843 0.41223563 23.486023 23.619362
    Oben rechts KachelX + 1 74088 KachelY 56682 0.40995637 0.41223563 23.488770 23.619362
    Unten links KachelX 74087 KachelY + 1 56683 0.40990843 0.41219171 23.486023 23.616845
    Unten rechts KachelX + 1 74088 KachelY + 1 56683 0.40995637 0.41219171 23.488770 23.616845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41223563-0.41219171) × R
    4.39200000000306e-05 × 6371000     		dl = 279.814320000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41223563-0.41219171) × R
    4.39200000000306e-05 × 6371000     		dr = 279.814320000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40990843-0.40995637) × cos(0.41223563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916227388684001 × 6371000     		do = 279.839428197219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40990843-0.40995637) × cos(0.41219171) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916244984729226 × 6371000     		du = 279.844802482353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41223563)-sin(0.41219171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916227388684001-0.916244984729226)×R²
    abs(0.40995637-0.40990843)×1.75960452252211e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75960452252211e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75960452252211e-05×40589641000000     		ar = 78303.8312237461m²