Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74086 / 60814
↖ ↑ ↗
← N 12.860004°
E 23.483276°		 ← 297.76 m → N 12.860004°
E 23.486023°		 →
↑
297.78 m
↓
↑
297.78 m
↓
N 12.857326°
E 23.483276°		 ← 297.77 m →
88 669 m²		 N 12.857326°
E 23.486023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565235137939453 y=0.463977813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565235137939453 × 217)
    floor (0.565235137939453 × 131072)
    floor (74086.5)     		tx = 74086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463977813720703 × 217)
    floor (0.463977813720703 × 131072)
    floor (60814.5)     		ty = 60814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74086 / 60814 ti = "17/74086/60814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74086/60814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74086 ÷ 217
    74086 ÷ 131072     		x = 0.565231323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60814 ÷ 217
    60814 ÷ 131072     		y = 0.463973999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565231323242188 × 2 - 1) × π
    0.130462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40986049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463973999023438 × 2 - 1) × π
    0.072052001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.226358040005905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40986049} λ = 0.40986049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226358040005905))-π/2
    2×atan(1.25402457587597)-π/2
    2×0.897622872176734-π/2
    1.79524574435347-1.57079632675     		φ = 0.22444942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40986049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.483276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22444942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.860004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74086 KachelY 60814 0.40986049 0.22444942 23.483276 12.860004
    Oben rechts KachelX + 1 74087 KachelY 60814 0.40990843 0.22444942 23.486023 12.860004
    Unten links KachelX 74086 KachelY + 1 60815 0.40986049 0.22440268 23.483276 12.857326
    Unten rechts KachelX + 1 74087 KachelY + 1 60815 0.40990843 0.22440268 23.486023 12.857326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22444942-0.22440268) × R
    4.67400000000173e-05 × 6371000     		dl = 297.78054000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22444942-0.22440268) × R
    4.67400000000173e-05 × 6371000     		dr = 297.78054000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40986049-0.40990843) × cos(0.22444942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974916797214871 × 6371000     		do = 297.764684227587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40986049-0.40990843) × cos(0.22440268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974927199054281 × 6371000     		du = 297.767861217086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22444942)-sin(0.22440268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974916797214871-0.974927199054281)×R²
    abs(0.40990843-0.40986049)×1.04018394099237e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04018394099237e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04018394099237e-05×40589641000000     		ar = 88669.0015012201m²