Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74081 / 60573
↖ ↑ ↗
← N 13.504485°
E 23.469544°		 ← 296.92 m → N 13.504485°
E 23.472290°		 →
↑
296.95 m
↓
↑
296.95 m
↓
N 13.501814°
E 23.469544°		 ← 296.92 m →
88 171 m²		 N 13.501814°
E 23.472290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565196990966797 y=0.462139129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565196990966797 × 217)
    floor (0.565196990966797 × 131072)
    floor (74081.5)     		tx = 74081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462139129638672 × 217)
    floor (0.462139129638672 × 131072)
    floor (60573.5)     		ty = 60573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74081 / 60573 ti = "17/74081/60573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74081/60573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74081 ÷ 217
    74081 ÷ 131072     		x = 0.565193176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60573 ÷ 217
    60573 ÷ 131072     		y = 0.462135314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565193176269531 × 2 - 1) × π
    0.130386352539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40962081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462135314941406 × 2 - 1) × π
    0.0757293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.237910832814339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40962081} λ = 0.40962081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237910832814339))-π/2
    2×atan(1.26859607064023)-π/2
    2×0.903247025436826-π/2
    1.80649405087365-1.57079632675     		φ = 0.23569772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40962081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.469544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23569772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.504485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74081 KachelY 60573 0.40962081 0.23569772 23.469544 13.504485
    Oben rechts KachelX + 1 74082 KachelY 60573 0.40966874 0.23569772 23.472290 13.504485
    Unten links KachelX 74081 KachelY + 1 60574 0.40962081 0.23565111 23.469544 13.501814
    Unten rechts KachelX + 1 74082 KachelY + 1 60574 0.40966874 0.23565111 23.472290 13.501814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23569772-0.23565111) × R
    4.66100000000025e-05 × 6371000     		dl = 296.952310000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23569772-0.23565111) × R
    4.66100000000025e-05 × 6371000     		dr = 296.952310000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40962081-0.40966874) × cos(0.23569772) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.972351645421574 × 6371000     		do = 296.91927231961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40962081-0.40966874) × cos(0.23565111) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.972362528801143 × 6371000     		du = 296.922595690488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23569772)-sin(0.23565111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972351645421574-0.972362528801143)×R²
    abs(0.40966874-0.40962081)×1.08833795690044e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.08833795690044e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.08833795690044e-05×40589641000000     		ar = 88171.3572561686m²