Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74081 / 55067
↖ ↑ ↗
← N 27.617839°
E 23.469544°		 ← 270.57 m → N 27.617839°
E 23.472290°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
N 27.615406°
E 23.469544°		 ← 270.57 m →
73 210 m²		 N 27.615406°
E 23.472290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565196990966797 y=0.420131683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565196990966797 × 217)
    floor (0.565196990966797 × 131072)
    floor (74081.5)     		tx = 74081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420131683349609 × 217)
    floor (0.420131683349609 × 131072)
    floor (55067.5)     		ty = 55067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74081 / 55067 ti = "17/74081/55067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74081/55067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74081 ÷ 217
    74081 ÷ 131072     		x = 0.565193176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55067 ÷ 217
    55067 ÷ 131072     		y = 0.420127868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565193176269531 × 2 - 1) × π
    0.130386352539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40962081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420127868652344 × 2 - 1) × π
    0.159744262695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.501851402122368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40962081} λ = 0.40962081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501851402122368))-π/2
    2×atan(1.65177654415707)-π/2
    2×1.02640928069897-π/2
    2.05281856139794-1.57079632675     		φ = 0.48202223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40962081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.469544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48202223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.617839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74081 KachelY 55067 0.40962081 0.48202223 23.469544 27.617839
    Oben rechts KachelX + 1 74082 KachelY 55067 0.40966874 0.48202223 23.472290 27.617839
    Unten links KachelX 74081 KachelY + 1 55068 0.40962081 0.48197976 23.469544 27.615406
    Unten rechts KachelX + 1 74082 KachelY + 1 55068 0.40966874 0.48197976 23.472290 27.615406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48202223-0.48197976) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dl = 270.576370000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48202223-0.48197976) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dr = 270.576370000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40962081-0.40966874) × cos(0.48202223) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.886059286069408 × 6371000     		do = 270.568862294357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40962081-0.40966874) × cos(0.48197976) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.88607897317051 × 6371000     		du = 270.574873987515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48202223)-sin(0.48197976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886059286069408-0.88607897317051)×R²
    abs(0.40966874-0.40962081)×1.96871011018951e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96871011018951e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96871011018951e-05×40589641000000     		ar = 73210.3539167601m²