Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7408 / 7451
↖ ↑ ↗
← S 81.275053°
E145.546875°		 ← 741.25 m → S 81.275053°
E145.590821°		 →
↑
740.95 m
↓
↑
740.95 m
↓
S 81.281717°
E145.546875°		 ← 740.69 m →
549 017 m²		 S 81.281717°
E145.590821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90435791015625 y=0.90960693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90435791015625 × 213)
    floor (0.90435791015625 × 8192)
    floor (7408.5)     		tx = 7408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90960693359375 × 213)
    floor (0.90960693359375 × 8192)
    floor (7451.5)     		ty = 7451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7408 / 7451 ti = "13/7408/7451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7408/7451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7408 ÷ 213
    7408 ÷ 8192     		x = 0.904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7451 ÷ 213
    7451 ÷ 8192     		y = 0.9095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904296875 × 2 - 1) × π
    0.80859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54027218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57325277160461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54027218} λ = 2.54027218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57325277160461))-π/2
    2×atan(0.0762869972294151)-π/2
    2×0.076139522546369-π/2
    0.152279045092738-1.57079632675     		φ = -1.41851728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54027218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41851728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.275053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7408 KachelY 7451 2.54027218 -1.41851728 145.546875 -81.275053
    Oben rechts KachelX + 1 7409 KachelY 7451 2.54103918 -1.41851728 145.590821 -81.275053
    Unten links KachelX 7408 KachelY + 1 7452 2.54027218 -1.41863358 145.546875 -81.281717
    Unten rechts KachelX + 1 7409 KachelY + 1 7452 2.54103918 -1.41863358 145.590821 -81.281717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41851728--1.41863358) × R
    0.000116299999999958 × 6371000     		dl = 740.947299999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41851728--1.41863358) × R
    0.000116299999999958 × 6371000     		dr = 740.947299999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54027218-2.54103918) × cos(-1.41851728) × R
    0.00076699999999974 × 0.151691197984176 × 6371000     		do = 741.247685347708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54027218-2.54103918) × cos(-1.41863358) × R
    0.00076699999999974 × 0.151576242789862 × 6371000     		du = 740.685950238248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41851728)-sin(-1.41863358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151691197984176-0.151576242789862)×R²
    abs(2.54103918-2.54027218)×0.000114955194313926×R²
    0.00076699999999974×0.000114955194313926×6371000²
    0.00076699999999974×0.000114955194313926×40589641000000     		ar = 549017.363650082m²