Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7408 / 7312
↖ ↑ ↗
← S 80.297927°
E145.546875°		 ← 823.51 m → S 80.297927°
E145.590821°		 →
↑
823.20 m
↓
↑
823.20 m
↓
S 80.305330°
E145.546875°		 ← 822.88 m →
677 652 m²		 S 80.305330°
E145.590821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90435791015625 y=0.89263916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90435791015625 × 213)
    floor (0.90435791015625 × 8192)
    floor (7408.5)     		tx = 7408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89263916015625 × 213)
    floor (0.89263916015625 × 8192)
    floor (7312.5)     		ty = 7312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7408 / 7312 ti = "13/7408/7312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7408/7312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7408 ÷ 213
    7408 ÷ 8192     		x = 0.904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7312 ÷ 213
    7312 ÷ 8192     		y = 0.892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904296875 × 2 - 1) × π
    0.80859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54027218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.892578125 × 2 - 1) × π
    -0.78515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.46664110684961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54027218} λ = 2.54027218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46664110684961))-π/2
    2×atan(0.0848694481898644)-π/2
    2×0.0846665577565924-π/2
    0.169333115513185-1.57079632675     		φ = -1.40146321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54027218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40146321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.297927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7408 KachelY 7312 2.54027218 -1.40146321 145.546875 -80.297927
    Oben rechts KachelX + 1 7409 KachelY 7312 2.54103918 -1.40146321 145.590821 -80.297927
    Unten links KachelX 7408 KachelY + 1 7313 2.54027218 -1.40159242 145.546875 -80.305330
    Unten rechts KachelX + 1 7409 KachelY + 1 7313 2.54103918 -1.40159242 145.590821 -80.305330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40146321--1.40159242) × R
    0.000129210000000102 × 6371000     		dl = 823.196910000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40146321--1.40159242) × R
    0.000129210000000102 × 6371000     		dr = 823.196910000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54027218-2.54103918) × cos(-1.40146321) × R
    0.00076699999999974 × 0.168525041566953 × 6371000     		do = 823.507221544009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54027218-2.54103918) × cos(-1.40159242) × R
    0.00076699999999974 × 0.168397678203012 × 6371000     		du = 822.884853206395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40146321)-sin(-1.40159242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168525041566953-0.168397678203012)×R²
    abs(2.54103918-2.54027218)×0.000127363363941951×R²
    0.00076699999999974×0.000127363363941951×6371000²
    0.00076699999999974×0.000127363363941951×40589641000000     		ar = 677652.435234022m²