Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7408 / 10576
↖ ↑ ↗
← S 46.316584°
W 17.226562°		 ← 1 687.46 m → S 46.316584°
W 17.204590°		 →
↑
1 687.30 m
↓
↑
1 687.30 m
↓
S 46.331758°
W 17.226562°		 ← 1 686.99 m →
2 846 854 m²		 S 46.331758°
W 17.204590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452178955078125 y=0.645538330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452178955078125 × 214)
    floor (0.452178955078125 × 16384)
    floor (7408.5)     		tx = 7408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645538330078125 × 214)
    floor (0.645538330078125 × 16384)
    floor (10576.5)     		ty = 10576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7408 / 10576 ti = "14/7408/10576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7408/10576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7408 ÷ 214
    7408 ÷ 16384     		x = 0.4521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10576 ÷ 214
    10576 ÷ 16384     		y = 0.6455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6455078125 × 2 - 1) × π
    -0.291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.914252549553711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30066023} λ = -0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914252549553711))-π/2
    2×atan(0.400816104330366)-π/2
    2×0.381209717281512-π/2
    0.762419434563024-1.57079632675     		φ = -0.80837689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80837689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.316584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7408 KachelY 10576 -0.30066023 -0.80837689 -17.226562 -46.316584
    Oben rechts KachelX + 1 7409 KachelY 10576 -0.30027674 -0.80837689 -17.204590 -46.316584
    Unten links KachelX 7408 KachelY + 1 10577 -0.30066023 -0.80864173 -17.226562 -46.331758
    Unten rechts KachelX + 1 7409 KachelY + 1 10577 -0.30027674 -0.80864173 -17.204590 -46.331758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80837689--0.80864173) × R
    0.000264839999999933 × 6371000     		dl = 1687.29563999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80837689--0.80864173) × R
    0.000264839999999933 × 6371000     		dr = 1687.29563999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30066023--0.30027674) × cos(-0.80837689) × R
    0.000383489999999986 × 0.690673121954347 × 6371000     		do = 1687.46278661427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30066023--0.30027674) × cos(-0.80864173) × R
    0.000383489999999986 × 0.690481574162751 × 6371000     		du = 1686.99479421686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80837689)-sin(-0.80864173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690673121954347-0.690481574162751)×R²
    abs(-0.30027674--0.30066023)×0.00019154779159547×R²
    0.000383489999999986×0.00019154779159547×6371000²
    0.000383489999999986×0.00019154779159547×40589641000000     		ar = 2846853.7983907m²