Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74078 / 56989
↖ ↑ ↗
← N 22.844539°
E 23.461304°		 ← 281.41 m → N 22.844539°
E 23.464050°		 →
↑
281.47 m
↓
↑
281.47 m
↓
N 22.842008°
E 23.461304°		 ← 281.42 m →
79 209 m²		 N 22.842008°
E 23.464050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565174102783203 y=0.434795379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565174102783203 × 217)
    floor (0.565174102783203 × 131072)
    floor (74078.5)     		tx = 74078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434795379638672 × 217)
    floor (0.434795379638672 × 131072)
    floor (56989.5)     		ty = 56989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74078 / 56989 ti = "17/74078/56989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74078/56989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74078 ÷ 217
    74078 ÷ 131072     		x = 0.565170288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56989 ÷ 217
    56989 ÷ 131072     		y = 0.434791564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565170288085938 × 2 - 1) × π
    0.130340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40947700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434791564941406 × 2 - 1) × π
    0.130416870117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.40971668105262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40947700} λ = 0.40947700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40971668105262))-π/2
    2×atan(1.50639093555422)-π/2
    2×0.984754379163185-π/2
    1.96950875832637-1.57079632675     		φ = 0.39871243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40947700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.461304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39871243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.844539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74078 KachelY 56989 0.40947700 0.39871243 23.461304 22.844539
    Oben rechts KachelX + 1 74079 KachelY 56989 0.40952493 0.39871243 23.464050 22.844539
    Unten links KachelX 74078 KachelY + 1 56990 0.40947700 0.39866825 23.461304 22.842008
    Unten rechts KachelX + 1 74079 KachelY + 1 56990 0.40952493 0.39866825 23.464050 22.842008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39871243-0.39866825) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dl = 281.47078000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39871243-0.39866825) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dr = 281.47078000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40947700-0.40952493) × cos(0.39871243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921561633755187 × 6371000     		do = 281.409931253773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40947700-0.40952493) × cos(0.39866825) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921578784949503 × 6371000     		du = 281.415168577286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39871243)-sin(0.39866825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921561633755187-0.921578784949503)×R²
    abs(0.40952493-0.40947700)×1.71511943160008e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71511943160008e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71511943160008e-05×40589641000000     		ar = 79209.4099393008m²