Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74077 / 90456
↖ ↑ ↗
← S 56.304349°
E 23.458557°		 ← 169.44 m → S 56.304349°
E 23.461304°		 →
↑
169.40 m
↓
↑
169.40 m
↓
S 56.305872°
E 23.458557°		 ← 169.44 m →
28 704 m²		 S 56.305872°
E 23.461304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565166473388672 y=0.690128326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565166473388672 × 217)
    floor (0.565166473388672 × 131072)
    floor (74077.5)     		tx = 74077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690128326416016 × 217)
    floor (0.690128326416016 × 131072)
    floor (90456.5)     		ty = 90456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74077 / 90456 ti = "17/74077/90456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74077/90456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74077 ÷ 217
    74077 ÷ 131072     		x = 0.565162658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90456 ÷ 217
    90456 ÷ 131072     		y = 0.69012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565162658691406 × 2 - 1) × π
    0.130325317382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40942906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.3802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1945875385318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40942906} λ = 0.40942906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1945875385318))-π/2
    2×atan(0.302828833651729)-π/2
    2×0.29405002985502-π/2
    0.58810005971004-1.57079632675     		φ = -0.98269627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40942906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.458557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98269627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.304349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74077 KachelY 90456 0.40942906 -0.98269627 23.458557 -56.304349
    Oben rechts KachelX + 1 74078 KachelY 90456 0.40947700 -0.98269627 23.461304 -56.304349
    Unten links KachelX 74077 KachelY + 1 90457 0.40942906 -0.98272286 23.458557 -56.305872
    Unten rechts KachelX + 1 74078 KachelY + 1 90457 0.40947700 -0.98272286 23.461304 -56.305872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98269627--0.98272286) × R
    2.65899999999375e-05 × 6371000     		dl = 169.404889999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98269627--0.98272286) × R
    2.65899999999375e-05 × 6371000     		dr = 169.404889999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40942906-0.40947700) × cos(-0.98269627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.554781279594194 × 6371000     		do = 169.444482858092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40942906-0.40947700) × cos(-0.98272286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.554759156618236 × 6371000     		du = 169.43772593179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98269627)-sin(-0.98272286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554781279594194-0.554759156618236)×R²
    abs(0.40947700-0.40942906)×2.21229759571617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21229759571617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21229759571617e-05×40589641000000     		ar = 28704.1516532004m²