Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74077 / 60829
↖ ↑ ↗
← N 12.819836°
E 23.458557°		 ← 297.81 m → N 12.819836°
E 23.461304°		 →
↑
297.78 m
↓
↑
297.78 m
↓
N 12.817158°
E 23.458557°		 ← 297.82 m →
88 683 m²		 N 12.817158°
E 23.461304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565166473388672 y=0.464092254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565166473388672 × 217)
    floor (0.565166473388672 × 131072)
    floor (74077.5)     		tx = 74077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464092254638672 × 217)
    floor (0.464092254638672 × 131072)
    floor (60829.5)     		ty = 60829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74077 / 60829 ti = "17/74077/60829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74077/60829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74077 ÷ 217
    74077 ÷ 131072     		x = 0.565162658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60829 ÷ 217
    60829 ÷ 131072     		y = 0.464088439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565162658691406 × 2 - 1) × π
    0.130325317382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40942906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464088439941406 × 2 - 1) × π
    0.0718231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.225638986511604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40942906} λ = 0.40942906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225638986511604))-π/2
    2×atan(1.25312318923419)-π/2
    2×0.897272335491301-π/2
    1.7945446709826-1.57079632675     		φ = 0.22374834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40942906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.458557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22374834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.819836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74077 KachelY 60829 0.40942906 0.22374834 23.458557 12.819836
    Oben rechts KachelX + 1 74078 KachelY 60829 0.40947700 0.22374834 23.461304 12.819836
    Unten links KachelX 74077 KachelY + 1 60830 0.40942906 0.22370160 23.458557 12.817158
    Unten rechts KachelX + 1 74078 KachelY + 1 60830 0.40947700 0.22370160 23.461304 12.817158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22374834-0.22370160) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dl = 297.780539999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22374834-0.22370160) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dr = 297.780539999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40942906-0.40947700) × cos(0.22374834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975072596723416 × 6371000     		do = 297.812269407776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40942906-0.40947700) × cos(0.22370160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975082966613561 × 6371000     		du = 297.815436639147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22374834)-sin(0.22370160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975072596723416-0.975082966613561)×R²
    abs(0.40947700-0.40942906)×1.03698901450233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03698901450233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03698901450233e-05×40589641000000     		ar = 88683.1699889349m²