Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74077 / 60572
↖ ↑ ↗
← N 13.507156°
E 23.458557°		 ← 296.98 m → N 13.507156°
E 23.461304°		 →
↑
297.02 m
↓
↑
297.02 m
↓
N 13.504485°
E 23.458557°		 ← 296.98 m →
88 208 m²		 N 13.504485°
E 23.461304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565166473388672 y=0.462131500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565166473388672 × 217)
    floor (0.565166473388672 × 131072)
    floor (74077.5)     		tx = 74077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462131500244141 × 217)
    floor (0.462131500244141 × 131072)
    floor (60572.5)     		ty = 60572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74077 / 60572 ti = "17/74077/60572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74077/60572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74077 ÷ 217
    74077 ÷ 131072     		x = 0.565162658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60572 ÷ 217
    60572 ÷ 131072     		y = 0.462127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565162658691406 × 2 - 1) × π
    0.130325317382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40942906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462127685546875 × 2 - 1) × π
    0.07574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.237958769713959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40942906} λ = 0.40942906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237958769713959))-π/2
    2×atan(1.26865688466034)-π/2
    2×0.90327033106796-π/2
    1.80654066213592-1.57079632675     		φ = 0.23574434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40942906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.458557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23574434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.507156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74077 KachelY 60572 0.40942906 0.23574434 23.458557 13.507156
    Oben rechts KachelX + 1 74078 KachelY 60572 0.40947700 0.23574434 23.461304 13.507156
    Unten links KachelX 74077 KachelY + 1 60573 0.40942906 0.23569772 23.458557 13.504485
    Unten rechts KachelX + 1 74078 KachelY + 1 60573 0.40947700 0.23569772 23.461304 13.504485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23574434-0.23569772) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dl = 297.016019999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23574434-0.23569772) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dr = 297.016019999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40942906-0.40947700) × cos(0.23574434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97234075759391 × 6371000     		do = 296.977895420086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40942906-0.40947700) × cos(0.23569772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972351645421574 × 6371000     		du = 296.981220842907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23574434)-sin(0.23569772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97234075759391-0.972351645421574)×R²
    abs(0.40947700-0.40942906)×1.08878276632307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08878276632307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08878276632307e-05×40589641000000     		ar = 88207.6863935452m²