Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74075 / 90535
↖ ↑ ↗
← S 56.424535°
E 23.453064°		 ← 168.88 m → S 56.424535°
E 23.455810°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
S 56.426054°
E 23.453064°		 ← 168.87 m →
28 522 m²		 S 56.426054°
E 23.455810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565151214599609 y=0.690731048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565151214599609 × 217)
    floor (0.565151214599609 × 131072)
    floor (74075.5)     		tx = 74075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690731048583984 × 217)
    floor (0.690731048583984 × 131072)
    floor (90535.5)     		ty = 90535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74075 / 90535 ti = "17/74075/90535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74075/90535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74075 ÷ 217
    74075 ÷ 131072     		x = 0.565147399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90535 ÷ 217
    90535 ÷ 131072     		y = 0.690727233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565147399902344 × 2 - 1) × π
    0.130294799804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40933319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690727233886719 × 2 - 1) × π
    -0.381454467773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.19837455360178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40933319} λ = 0.40933319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19837455360178))-π/2
    2×atan(0.301684185063787)-π/2
    2×0.293001201271166-π/2
    0.586002402542331-1.57079632675     		φ = -0.98479392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40933319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.453064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98479392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.424535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74075 KachelY 90535 0.40933319 -0.98479392 23.453064 -56.424535
    Oben rechts KachelX + 1 74076 KachelY 90535 0.40938112 -0.98479392 23.455810 -56.424535
    Unten links KachelX 74075 KachelY + 1 90536 0.40933319 -0.98482043 23.453064 -56.426054
    Unten rechts KachelX + 1 74076 KachelY + 1 90536 0.40938112 -0.98482043 23.455810 -56.426054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98479392--0.98482043) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98479392--0.98482043) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40933319-0.40938112) × cos(-0.98479392) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.553034823419853 × 6371000     		do = 168.875836340085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40933319-0.40938112) × cos(-0.98482043) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.553012736203267 × 6371000     		du = 168.869091742792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98479392)-sin(-0.98482043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553034823419853-0.553012736203267)×R²
    abs(0.40938112-0.40933319)×2.20872165852537e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20872165852537e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20872165852537e-05×40589641000000     		ar = 28521.7502791915m²