Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74075 / 60770
↖ ↑ ↗
← N 12.977795°
E 23.453064°		 ← 297.56 m → N 12.977795°
E 23.455810°		 →
↑
297.59 m
↓
↑
297.59 m
↓
N 12.975119°
E 23.453064°		 ← 297.57 m →
88 552 m²		 N 12.975119°
E 23.455810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565151214599609 y=0.463642120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565151214599609 × 217)
    floor (0.565151214599609 × 131072)
    floor (74075.5)     		tx = 74075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463642120361328 × 217)
    floor (0.463642120361328 × 131072)
    floor (60770.5)     		ty = 60770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74075 / 60770 ti = "17/74075/60770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74075/60770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74075 ÷ 217
    74075 ÷ 131072     		x = 0.565147399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60770 ÷ 217
    60770 ÷ 131072     		y = 0.463638305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565147399902344 × 2 - 1) × π
    0.130294799804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40933319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463638305664062 × 2 - 1) × π
    0.072723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.228467263589188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40933319} λ = 0.40933319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228467263589188))-π/2
    2×atan(1.25667238551505)-π/2
    2×0.89865078890702-π/2
    1.79730157781404-1.57079632675     		φ = 0.22650525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40933319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.453064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22650525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.977795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74075 KachelY 60770 0.40933319 0.22650525 23.453064 12.977795
    Oben rechts KachelX + 1 74076 KachelY 60770 0.40938112 0.22650525 23.455810 12.977795
    Unten links KachelX 74075 KachelY + 1 60771 0.40933319 0.22645854 23.453064 12.975119
    Unten rechts KachelX + 1 74076 KachelY + 1 60771 0.40938112 0.22645854 23.455810 12.975119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22650525-0.22645854) × R
    4.67099999999776e-05 × 6371000     		dl = 297.589409999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22650525-0.22645854) × R
    4.67099999999776e-05 × 6371000     		dr = 297.589409999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40933319-0.40938112) × cos(0.22650525) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974457172011065 × 6371000     		do = 297.562220193195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40933319-0.40938112) × cos(0.22645854) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974467660772352 × 6371000     		du = 297.565423062634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22650525)-sin(0.22645854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974457172011065-0.974467660772352)×R²
    abs(0.40938112-0.40933319)×1.04887612876192e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.04887612876192e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.04887612876192e-05×40589641000000     		ar = 88551.8421316804m²