Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74075 / 60768
↖ ↑ ↗
← N 12.983147°
E 23.453064°		 ← 297.56 m → N 12.983147°
E 23.455810°		 →
↑
297.59 m
↓
↑
297.59 m
↓
N 12.980471°
E 23.453064°		 ← 297.56 m →
88 550 m²		 N 12.980471°
E 23.455810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565151214599609 y=0.463626861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565151214599609 × 217)
    floor (0.565151214599609 × 131072)
    floor (74075.5)     		tx = 74075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463626861572266 × 217)
    floor (0.463626861572266 × 131072)
    floor (60768.5)     		ty = 60768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74075 / 60768 ti = "17/74075/60768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74075/60768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74075 ÷ 217
    74075 ÷ 131072     		x = 0.565147399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60768 ÷ 217
    60768 ÷ 131072     		y = 0.463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565147399902344 × 2 - 1) × π
    0.130294799804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40933319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    0.07275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.228563137388428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40933319} λ = 0.40933319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228563137388428))-π/2
    2×atan(1.25679287324677)-π/2
    2×0.898697500859708-π/2
    1.79739500171942-1.57079632675     		φ = 0.22659867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40933319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.453064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22659867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.983147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74075 KachelY 60768 0.40933319 0.22659867 23.453064 12.983147
    Oben rechts KachelX + 1 74076 KachelY 60768 0.40938112 0.22659867 23.455810 12.983147
    Unten links KachelX 74075 KachelY + 1 60769 0.40933319 0.22655196 23.453064 12.980471
    Unten rechts KachelX + 1 74076 KachelY + 1 60769 0.40938112 0.22655196 23.455810 12.980471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22659867-0.22655196) × R
    4.67100000000054e-05 × 6371000     		dl = 297.589410000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22659867-0.22655196) × R
    4.67100000000054e-05 × 6371000     		dr = 297.589410000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40933319-0.40938112) × cos(0.22659867) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.97443618811023 × 6371000     		do = 297.555812506639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40933319-0.40938112) × cos(0.22655196) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974446681123683 × 6371000     		du = 297.559016674528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22659867)-sin(0.22655196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97443618811023-0.974446681123683)×R²
    abs(0.40938112-0.40933319)×1.04930134531278e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.04930134531278e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.04930134531278e-05×40589641000000     		ar = 88549.9354652709m²