Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74074 / 90534
↖ ↑ ↗
← S 56.423016°
E 23.450317°		 ← 168.92 m → S 56.423016°
E 23.453064°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
S 56.424535°
E 23.450317°		 ← 168.91 m →
28 529 m²		 S 56.424535°
E 23.453064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565143585205078 y=0.690723419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565143585205078 × 217)
    floor (0.565143585205078 × 131072)
    floor (74074.5)     		tx = 74074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690723419189453 × 217)
    floor (0.690723419189453 × 131072)
    floor (90534.5)     		ty = 90534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74074 / 90534 ti = "17/74074/90534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74074/90534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74074 ÷ 217
    74074 ÷ 131072     		x = 0.565139770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90534 ÷ 217
    90534 ÷ 131072     		y = 0.690719604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565139770507812 × 2 - 1) × π
    0.130279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40928525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690719604492188 × 2 - 1) × π
    -0.381439208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19832661670216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40928525} λ = 0.40928525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19832661670216))-π/2
    2×atan(0.301698647214916)-π/2
    2×0.293014456923194-π/2
    0.586028913846389-1.57079632675     		φ = -0.98476741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40928525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.450317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98476741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.423016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74074 KachelY 90534 0.40928525 -0.98476741 23.450317 -56.423016
    Oben rechts KachelX + 1 74075 KachelY 90534 0.40933319 -0.98476741 23.453064 -56.423016
    Unten links KachelX 74074 KachelY + 1 90535 0.40928525 -0.98479392 23.450317 -56.424535
    Unten rechts KachelX + 1 74075 KachelY + 1 90535 0.40933319 -0.98479392 23.453064 -56.424535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98476741--0.98479392) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98476741--0.98479392) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40928525-0.40933319) × cos(-0.98476741) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553056910247776 × 6371000     		do = 168.917816074625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40928525-0.40933319) × cos(-0.98479392) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553034823419853 × 6371000     		du = 168.911070188863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98476741)-sin(-0.98479392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553056910247776-0.553034823419853)×R²
    abs(0.40933319-0.40928525)×2.20868279234843e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20868279234843e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20868279234843e-05×40589641000000     		ar = 28528.8403464652m²