Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74074 / 60574
↖ ↑ ↗
← N 13.501814°
E 23.450317°		 ← 296.98 m → N 13.501814°
E 23.453064°		 →
↑
296.95 m
↓
↑
296.95 m
↓
N 13.499143°
E 23.450317°		 ← 296.99 m →
88 191 m²		 N 13.499143°
E 23.453064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565143585205078 y=0.462146759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565143585205078 × 217)
    floor (0.565143585205078 × 131072)
    floor (74074.5)     		tx = 74074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462146759033203 × 217)
    floor (0.462146759033203 × 131072)
    floor (60574.5)     		ty = 60574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74074 / 60574 ti = "17/74074/60574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74074/60574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74074 ÷ 217
    74074 ÷ 131072     		x = 0.565139770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60574 ÷ 217
    60574 ÷ 131072     		y = 0.462142944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565139770507812 × 2 - 1) × π
    0.130279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40928525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462142944335938 × 2 - 1) × π
    0.075714111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.237862895914719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40928525} λ = 0.40928525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237862895914719))-π/2
    2×atan(1.2685352595353)-π/2
    2×0.9032237195448-π/2
    1.8064474390896-1.57079632675     		φ = 0.23565111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40928525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.450317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23565111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.501814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74074 KachelY 60574 0.40928525 0.23565111 23.450317 13.501814
    Oben rechts KachelX + 1 74075 KachelY 60574 0.40933319 0.23565111 23.453064 13.501814
    Unten links KachelX 74074 KachelY + 1 60575 0.40928525 0.23560450 23.450317 13.499143
    Unten rechts KachelX + 1 74075 KachelY + 1 60575 0.40933319 0.23560450 23.453064 13.499143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23565111-0.23560450) × R
    4.66100000000025e-05 × 6371000     		dl = 296.952310000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23565111-0.23560450) × R
    4.66100000000025e-05 × 6371000     		dr = 296.952310000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40928525-0.40933319) × cos(0.23565111) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972362528801143 × 6371000     		do = 296.984544907509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40928525-0.40933319) × cos(0.23560450) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972373410068262 × 6371000     		du = 296.987868326571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23565111)-sin(0.23560450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972362528801143-0.972373410068262)×R²
    abs(0.40933319-0.40928525)×1.08812671190117e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.08812671190117e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.08812671190117e-05×40589641000000     		ar = 88190.7401090367m²