Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74071 / 90538
↖ ↑ ↗
← S 56.429092°
E 23.442078°		 ← 168.89 m → S 56.429092°
E 23.444824°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
S 56.430611°
E 23.442078°		 ← 168.88 m →
28 524 m²		 S 56.430611°
E 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565120697021484 y=0.690753936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565120697021484 × 217)
    floor (0.565120697021484 × 131072)
    floor (74071.5)     		tx = 74071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690753936767578 × 217)
    floor (0.690753936767578 × 131072)
    floor (90538.5)     		ty = 90538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74071 / 90538 ti = "17/74071/90538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74071/90538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74071 ÷ 217
    74071 ÷ 131072     		x = 0.565116882324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90538 ÷ 217
    90538 ÷ 131072     		y = 0.690750122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565116882324219 × 2 - 1) × π
    0.130233764648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40914144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690750122070312 × 2 - 1) × π
    -0.381500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19851836430064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40914144} λ = 0.40914144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19851836430064))-π/2
    2×atan(0.301640802769791)-π/2
    2×0.292961437491474-π/2
    0.585922874982949-1.57079632675     		φ = -0.98487345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40914144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.442078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98487345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.429092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74071 KachelY 90538 0.40914144 -0.98487345 23.442078 -56.429092
    Oben rechts KachelX + 1 74072 KachelY 90538 0.40918938 -0.98487345 23.444824 -56.429092
    Unten links KachelX 74071 KachelY + 1 90539 0.40914144 -0.98489996 23.442078 -56.430611
    Unten rechts KachelX + 1 74072 KachelY + 1 90539 0.40918938 -0.98489996 23.444824 -56.430611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98487345--0.98489996) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98487345--0.98489996) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40914144-0.40918938) × cos(-0.98487345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552968560604173 × 6371000     		do = 168.890831819154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40914144-0.40918938) × cos(-0.98489996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552946472221695 × 6371000     		du = 168.88408545859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98487345)-sin(-0.98489996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552968560604173-0.552946472221695)×R²
    abs(0.40918938-0.40914144)×2.20883824777474e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20883824777474e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20883824777474e-05×40589641000000     		ar = 28524.2827948302m²