Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74071 / 60767
↖ ↑ ↗
← N 12.985824°
E 23.442078°		 ← 297.61 m → N 12.985824°
E 23.444824°		 →
↑
297.65 m
↓
↑
297.65 m
↓
N 12.983147°
E 23.442078°		 ← 297.62 m →
88 586 m²		 N 12.983147°
E 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565120697021484 y=0.463619232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565120697021484 × 217)
    floor (0.565120697021484 × 131072)
    floor (74071.5)     		tx = 74071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463619232177734 × 217)
    floor (0.463619232177734 × 131072)
    floor (60767.5)     		ty = 60767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74071 / 60767 ti = "17/74071/60767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74071/60767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74071 ÷ 217
    74071 ÷ 131072     		x = 0.565116882324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60767 ÷ 217
    60767 ÷ 131072     		y = 0.463615417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565116882324219 × 2 - 1) × π
    0.130233764648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40914144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463615417480469 × 2 - 1) × π
    0.0727691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.228611074288048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40914144} λ = 0.40914144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228611074288048))-π/2
    2×atan(1.25685312144462)-π/2
    2×0.898720856458774-π/2
    1.79744171291755-1.57079632675     		φ = 0.22664539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40914144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.442078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22664539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.985824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74071 KachelY 60767 0.40914144 0.22664539 23.442078 12.985824
    Oben rechts KachelX + 1 74072 KachelY 60767 0.40918938 0.22664539 23.444824 12.985824
    Unten links KachelX 74071 KachelY + 1 60768 0.40914144 0.22659867 23.442078 12.983147
    Unten rechts KachelX + 1 74072 KachelY + 1 60768 0.40918938 0.22659867 23.444824 12.983147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22664539-0.22659867) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dl = 297.653120000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22664539-0.22659867) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dr = 297.653120000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40914144-0.40918938) × cos(0.22664539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974425690723629 × 6371000     		do = 297.61468766408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40914144-0.40918938) × cos(0.22659867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97443618811023 × 6371000     		du = 297.617893836151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22664539)-sin(0.22659867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974425690723629-0.97443618811023)×R²
    abs(0.40918938-0.40914144)×1.04973866010827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04973866010827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04973866010827e-05×40589641000000     		ar = 88586.4175207086m²