Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74070 / 56670
↖ ↑ ↗
← N 23.649556°
E 23.439331°		 ← 279.77 m → N 23.649556°
E 23.442078°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
N 23.647040°
E 23.439331°		 ← 279.78 m →
78 268 m²		 N 23.647040°
E 23.442078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565113067626953 y=0.432361602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565113067626953 × 217)
    floor (0.565113067626953 × 131072)
    floor (74070.5)     		tx = 74070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432361602783203 × 217)
    floor (0.432361602783203 × 131072)
    floor (56670.5)     		ty = 56670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74070 / 56670 ti = "17/74070/56670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74070/56670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74070 ÷ 217
    74070 ÷ 131072     		x = 0.565109252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56670 ÷ 217
    56670 ÷ 131072     		y = 0.432357788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565109252929688 × 2 - 1) × π
    0.130218505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40909350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432357788085938 × 2 - 1) × π
    0.135284423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.425008552031418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40909350} λ = 0.40909350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425008552031418))-π/2
    2×atan(1.52960350082464)-π/2
    2×0.991779473875215-π/2
    1.98355894775043-1.57079632675     		φ = 0.41276262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40909350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.439331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41276262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.649556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74070 KachelY 56670 0.40909350 0.41276262 23.439331 23.649556
    Oben rechts KachelX + 1 74071 KachelY 56670 0.40914144 0.41276262 23.442078 23.649556
    Unten links KachelX 74070 KachelY + 1 56671 0.40909350 0.41271871 23.439331 23.647040
    Unten rechts KachelX + 1 74071 KachelY + 1 56671 0.40914144 0.41271871 23.442078 23.647040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41276262-0.41271871) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dl = 279.750610000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41276262-0.41271871) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dr = 279.750610000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40909350-0.40914144) × cos(0.41276262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916016118353079 × 6371000     		do = 279.774900800057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40909350-0.40914144) × cos(0.41271871) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916033731591501 × 6371000     		du = 279.780280336436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41276262)-sin(0.41271871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916016118353079-0.916033731591501)×R²
    abs(0.40914144-0.40909350)×1.76132384223093e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76132384223093e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76132384223093e-05×40589641000000     		ar = 78267.9516384172m²