Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74069 / 56642
↖ ↑ ↗
← N 23.719983°
E 23.436584°		 ← 279.62 m → N 23.719983°
E 23.439331°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
N 23.717468°
E 23.436584°		 ← 279.63 m →
78 190 m²		 N 23.717468°
E 23.439331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565105438232422 y=0.432147979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565105438232422 × 217)
    floor (0.565105438232422 × 131072)
    floor (74069.5)     		tx = 74069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432147979736328 × 217)
    floor (0.432147979736328 × 131072)
    floor (56642.5)     		ty = 56642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74069 / 56642 ti = "17/74069/56642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74069/56642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74069 ÷ 217
    74069 ÷ 131072     		x = 0.565101623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56642 ÷ 217
    56642 ÷ 131072     		y = 0.432144165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565101623535156 × 2 - 1) × π
    0.130203247070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.40904556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432144165039062 × 2 - 1) × π
    0.135711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.426350785220779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40904556} λ = 0.40904556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.426350785220779))-π/2
    2×atan(1.53165796388582)-π/2
    2×0.992394061868421-π/2
    1.98478812373684-1.57079632675     		φ = 0.41399180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40904556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.436584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41399180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.719983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74069 KachelY 56642 0.40904556 0.41399180 23.436584 23.719983
    Oben rechts KachelX + 1 74070 KachelY 56642 0.40909350 0.41399180 23.439331 23.719983
    Unten links KachelX 74069 KachelY + 1 56643 0.40904556 0.41394791 23.436584 23.717468
    Unten rechts KachelX + 1 74070 KachelY + 1 56643 0.40909350 0.41394791 23.439331 23.717468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41399180-0.41394791) × R
    4.38900000000464e-05 × 6371000     		dl = 279.623190000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41399180-0.41394791) × R
    4.38900000000464e-05 × 6371000     		dr = 279.623190000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40904556-0.40909350) × cos(0.41399180) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915522351420741 × 6371000     		do = 279.62409166936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40904556-0.40909350) × cos(0.41394791) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915540006042189 × 6371000     		du = 279.62948384518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41399180)-sin(0.41394791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915522351420741-0.915540006042189)×R²
    abs(0.40909350-0.40904556)×1.76546214482043e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76546214482043e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76546214482043e-05×40589641000000     		ar = 78190.1344146811m²